Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги тошкент кимё – технология институти

Чизиқли тенгламалар системасини Крамер усули билан ечимларини топиш

1. Чизиқли тенгламалар системаси ҳақида тушунча. Системанинг ечими

Иқтисодий масалаларнинг аксарияти бир неча номаълумли (айтайлик m та) чекли сондаги (айтайлик n та) чизиқли тенгламаларни ўз ичига олган ва ушбу тенгламаларнинг умумий ечимини топиш масаласи қўйилган қуйидаги


(1)

чизиқли тенгламалар системасига келтирилади. Бу ерда, a_ij – хақиқий сонлар бўлиб, системанинг коеффициентлари; b_i - хақиқий сонлар эса унинг озод ҳадлари дейилади. Системанинг (1) кўринишдаги шаклига m та номаълумли n та чизиқли тенгламалар нормал системаси дейилади.

- коэффициентлар ёки асосий матрица,


кенгайтирилган матрица дейилади
(1) системанинг ечими ёки ечимлари тўплами деб, унинг ҳар бир тенгламасини сонли айниятга айлантирадиган мумкин бўлган барча m та хақиқий сонларнинг тартибланган (х₁; х₂; … ; х_m ) тизимлари тўпламига айтилади.
Системани ечиш деганда – унинг барча ечимларини топиш ёки ечимга эга эмаслигини кўрсатиш тушунилади.
Чизиқли тенгламалар системаси ечимга эга бўлса - биргаликда, ягона ечимга эга бўлса - аниқ, чексиз кўп ечимга эга бўлса - аниқмас ва умуман ечими мавжуд бўлмаса – биргаликда бўлмаган система дейилади.
Тенгламалар системасининг бирор-бир тенгламаси зид (қарама-қарши) тенглама бўлса, системанинг ўзи хам зид, яъни биргаликда бўлмаган системани ташкил этади. Айнан тенг ечимлар тўпламига эга тенгламалар системаларига эса тенг кучли (эквивалент) системалар деб аталади.
2. Чизиқли тенгламалар системасининг ечими мавжудлиги ва ягоналиги ҳақида теоремалар.
(1) умумий кўринишдаги чизиқли тенгламалар системасининг биргаликдалик ва аниқлик масаласини қуйидаги теорема очиб беради.
Кронекер-Капелли теоремаси. Чизиқли тенгламалар системаси биргаликда бўлиши учун унинг асосий матрицаси рангининг кенгайтирилган матрицаси рангига тенг бўлиши зарур ва етарли.
Агар асосий А матрица ранги кенгайтирилган (А | B) матрица рангига тенг бўлиб, тенг ранглар ўз навбатида номаълумлар сони m га тенг бўлса, яъни rang(А) = rang(А | B) = m , система аниқ бўлади.
Агар А матрица ранги кенгайтирилган (А | B) матрица рангига тенг бўлиб, тенг ранглар номаълумлар сони m дан кичик бўлса, яъни ранг(А) = ранг(А | B) < m, система аниқмас бўлади.
Агарда асосий матрица ранги кенгайтирилган матрица рангидан кичик бўлса, система биргаликда бўлмайди.
n та номаълумли n та чизиқли тенгламалар системаси нормал кўринишда берилган бўлсин:


(2)

(2) система учун унинг аниқлик шарти муҳимдир.