Высшее профессиональное образование

Поверхность Лагранжа, построенную по семейству кривых с,(и),

1. 
   = 0, 1, 2, ..., п, опишем векторной функцией
   

r(u,v) = '£L_lⁿ(v)c_i(u), (2.17)
1=0
где L"(u) — коэффициенты Лагранжа (1.10). Каждая у-линия r(const, v) такой поверхности представляет собой кривую Лагранжа.
Пусть кроме кривых с,(и) нам известны частные производные по-
дг (и, и)
в
на координатных
U=Uj
ерхности по второму параметру г_v(u, v_t) =
dv
линиях вдоль выбранных значений второго параметра v = v_h i = 0, 1,

0. 
   п.
   

Поверхность Эрмита, построенную по семейству кривых, опишем векторной функцией
г (и, и) = с,(м)(1 - 3 w¹ + 2IV³) + с,_+|(и)(3 ш² - 2 w³) + г„(и, v)(v_M - v,)(w - 2w² + w³) + r„(u,v_M)(v_M - Vi)(-W² + w³) =
с, (и)
(и)

(2.18)

Г_v(u,v,)(v_M-и,) r_u(«,w_/+1)(tf_<+1 -v,\

= [а₀(к>) а ,(иО а₀(и;) а,(ш)]

, ч V-Vj „ . „
где w = w(v) = ' местный параметр поверхности, а индекс г наи-
»М ~«i
ден из условия v_t < v < v_M. Данная поверхность построена аналогично построению составного сплайна Эрмита (1.15) и является кубической по и направлению. При изменении параметра ш от 0 до 1 параметр поверх­ности изменяется от и, до и_м.
Если производные г_v(u, v,) семейства неизвестны, то они могут быть вычислены по соседним кривым, аналогично тому, как вычисляются про­изводные в контрольных точках составного сплайна Эрмита, например,
Ч-»м ,
Г
(Vi-l-Vi)(v,_i-V_M)
Vj-Vj-l
„(М,1/,) = С_М(И)
. . 2V: — Vj_\ — Uj.l + С ,(м) ^{5 LJ}
■ + С/Ч1 («):
(Vi - У/-1 )(y, - V_M) (v_M - Vf_i)(v_M - V)
для внутренних кривых (/ = 1,2, ..., n - 1) и
г„(ц,Цо) = |^{С|(Ц) С}°^(ц)-^г„(м,е;|);
2 v,-v_n 2
г_U(u,v„) = ^ _ lr_v(u,V„_,
для крайних кривых (/ = 0, / = я). Формулы вычисления г„(и, v₀) и г„(м, (;„) обеспечивают равенство нулю вторых производных на крайних кривых поверхности в перпендикулярных к краю поверхности направлениях. Если все кривые семейства являются циклически замкнутыми, то поверхность

17. 
    будет циклически замкнута по первому параметру. Поверхность может быть циклически замкнута и по второму параметру. Поверхность Эрмита, построенная на семействе кривых, приведена на рис. 2.9.
    

В частном случае поверхность (2.18) может служить переходным мос­тиком от одной поверхности к другой. Сопрягаемые поверхности долж­ны иметь прямоугольные области определения параметров. Пусть, на­пример, требуется плавно сопрячь край поверхности а(м, v_mm) с краем поверхности b(и, и^).
Поверхность перехода опишем векторной функцией
г (и, w) = а (и, v_mm) (1 —3 w² + 2 w^l) + b(w, t;_min) ( 3 w² - 2 u>³) +
+ a„(«, u_mm)(w - 2w¹ + w³) k_a + b_v(u,u_min)(-w² + w³) k_b, (2.19)

0 < w < 1,

му параметру радиуса-вектора первой сопрягаемой поверхности;




параметру радиуса-вектора второй спрягаемой поверхности; к_а и к_ь — коэффициенты, нормирующие производные а_и(и, к_тах) и Ъ_и(и, t;_min) со­ответственно. Коэффициенты к_а и к_ь получим путем деления среднего расстояния между краями сопрягаемых поверхностей на среднюю длину частных производных а„(м, у_тах) и b_и(и, f_min)- Поверхность перехода приведена на рис. 2.10.
На семействе кривых построим поверхность аналогично построению по семейству точек кривой Безье. Для этого в (1.34) вместо контрольных точек подставим кривые семейства.