Высшее профессиональное образование

Поверхность тора опишем векторной функцией
г (и,и) = р + (Л + /-cosy)cosMi_x + (R + г cos у) sin и i_y + /-siny^, t/s[0, 2л], ye[t;_min, v_n '
где r — радиус трубки тора; R — радиус оси трубки. Начало локальной системы координат мы расположили в центре тора, базисный вектор i_z направили вдоль оси тора (рис. 2.2)

.






При г < R поверхность тора циклически замкнута по обоим параметрам и имеет фор­му бублика, y_min = -к, v_mm = л. Если r> R, то для предотвращения перехода через места самопересечения поверхности ограничим область изменения второго параметра. По­ложим и_тт = -л + и₀, v_max = к - и₀, где У₀ = = arccos (R/r), если —|r| < R < г. При 0 <

• 
  R< г поверхность тора имеет форму ябло­ка (рис. 2.3). При R = 0 поверхность тора превратится в сферу радиуса г. При -|/*| <
  
• 
  R < 0 поверхность тора имеет форму ли­мона.
  

Е



Рис. 2.3




Рис. 2.1
сли радиус оси трубки не превосходит радиуса трубки, то поверхность тора имеет особые точки при и = +(л - arccos (R/r)), так как в этих точках обращается в нуль производная поверхности по первому параметру.

3. 
   Поверхности движения
   

Поверхность можно получить путем движения кривой по заданной траектории. Траекторией может служить произвольная кривая. Кривую, движением которой получается поверхность, называют образующей, кри­вую, служащую траекторией, — направляющей. Пусть образующая опи­сывается кривой с (и), и_т[п < и < м,_шх, а направляющей является кривая g(i>), u_min < и < u_max. Пусть первый параметр поверхности движения совпа­дает с параметром образующей кривой с (и), а второй параметр поверх­ности — с параметром направляющей кривой g(t>). Область изменения параметров поверхностей движения представляет собой прямоугольник. Если образующая кривая с (и) циклически замкнута, то поверхность дви­жения также будет циклически замкнутой по первому параметру.
При движении образующей кривой вдоль направляющей кривой ориентация образующей может оставаться неизменной в пространств

е
или неизменной относительно направляющей. В первом случае обра­зующая выполняет плоскопараллельное движение. Назовем такую по­верхность поверхностью сдвига. Во втором случае среди всевозможных направляющих выделим две наиболее простые — отрезок прямой и дугу окружности. Если направляющей служит отрезок прямой, то поверхность назовем поверхностью выдавливания; если направляющей служит дуга окружности или вся окружность, то — поверхностью вращения. В ос­тальных случаях поверхность движения будем называть кинематической поверхностью.
Назовем кривую монотонной, если скалярное произведение каса­тельных векторов в любых двух точках кривой всегда больше нуля. Мо­нотонная кривая не может быть замкнутой. К таким кривым относятся отрезок, спираль и некоторые другие кривые.
Поверхность сдвига, полученную движением кривой c(w), M_mjn <

• 
  и < и_тт, вдоль монотонной направляющей кривой g(и) опишем век­торной функцией
  

г (и, и) = g (и) + с (и) - g(y_min). (2.7)
Радиус-вектор поверхности сдвига строится как сумма двух векторов: вектора точки на направляющей кривой g(i>) и вектора положения точ­ки образующей относительно начальной точки направляющей с (и) -

• 
  g(tfmin)- Поверхность сдвига приведена на рис. 2.4.
  

Поверхность выдавливания, полученную движением кривой с (и), w_min < и < м_тах, вдоль вектора d, опишем векторной функцией
г(м, и) = с (и) + yd. (2.8)
Поверхность выдавливания приведена на рис. 2.5.
Поверхность вращения построим, используя локальную декартову прямоугольную систему координат, связанную с осью вращения. Ее на­чало р расположим на оси вращения, вдоль оси вращения направим третий базисный вектор i₃ локальной системы координат. Первый ба­зисный вектор i| локальной системы координат направим в сторону образующей кривой. Для этого построим вектор d = с(м,) - р и вычтем из d его же составляющую, параллельную оси вращения: d, = d — (i₃ d)i₃. Точкой c(w,) может служить произвольная точка образующей кривой, не лежащая на оси вращения. Базисный вектор i, направим вдоль d.
Базисный вектор i₂ локальной системы координат направим парал­лельно вектору i₂ = i₃xi,. Для вычисления радиуса-вектора точки поверх­ности вращения построим матрицу
A =[i, i₂ i₃],
столбцы которой составлены из компонент базисных векторов локальной системы координат. Матрица А является матрицей преобразовани

я




Рис. 2.4 Рис. 2.5 Рис. 2.6



координат радиуса-вектора точки из локальной системы координат в глобальную.
Поверхность, полученную вращением кривой с (и), M_min < и < и_тах, на угол а вокруг оси, заданной вектором i₃ и точкой р, опишем векторной функцией
г (и, v) = р + M(i;) • (с(и) - р), ue[u_min, ы_тах], ve [0, а], (2.9)
c
•А ¹ — матрица вращения. Матрица М(и)
osy -sinf О гдеМ(у) = А- sini; cosy О
О 0 1
переводит вектор с (и) - р в локальную систему координат, поворачива­ет его в ней на угол и вокруг оси вращения и возвращает повернутый вектор обратно в глобальную систему координат. Если угол вращения а = 2л, то поверхность (2.9) циклически замкнута по второму параметру. Поверхность вращения приведена на рис. 2.6.