Высшее профессиональное образование

dS = \r\duyr₂dv\ = |r! x г₂\du du.
Представим квадрат длины вектора г,хг₂ следующим образом

:


|r,xr₂|² = |r₁|²|r₂|²sin²cp = |r,1²|r₂|²( 1 - cos²ф) =
/
g\l

= g\\g22~g\2=g-
g\\g22.
Таким образом, площадь бесконечно малого криволинейного четы­рехугольника в первом приближении определится формулой
dS = jg_ug₂₂-g\₂²dudu.
Тогда площади поверхности, параметры которой принимают значения на двумерной связной области О, вычислим с помощью интеграла
п
Геометрические свойства поверхности, которые можно установить с помощью первой квадратичной формы, называют внутренней гео­метрией поверхности.
В обыкновенной точке нормаль поверхности определяется через векторное произведение г, хг₂. Так как векторы г, и г₂ лежат в касатель­ной к поверхности плоскости, то их векторное произведение ортого­нально касательной плоскости. Поделив вектор г, хг₂ на его длину, по­лучим формулу для единичной нормали поверхности в рассматриваемой точке
Г, ХГ,
III
\lgug22~g\2²
Рассмотрим некоторую кривую на поверхности, определяемую функ­циями и = u(t), v = u(t). Вычислим приращение радиуса-вектора кривой на поверхности, которое он получит при бесконечно малом приращении ее параметра dt с точностью до второго порядка малости относитель­но dt:
. dr 1 d²г ,.₂
Дг = —dt + г-dt¹.
dt 2 dt²
Найдем проекцию Дг на нормаль поверхности в рассматриваемой точке. Первая производная кривой ортогональна нормали поверхности, поэтому основную роль в проекции Дг на нормаль будет играть вторая производная кривой
d²г _ (duS² . dudv . (du']² . _ d²u , d²v
^+r'^^+r^'
Проекция второй производной кривой на нормаль поверхности ха­рактеризует искривление поверхности, именно поверхности, а не кри­вой. Действительно, если кривая построена на плоскости, то как бы она искривлена ни была, проекция вектора Дг на нормаль плоскости будет равна нулю. Умножив скалярно Дг на нормаль поверхности, по­лучимВведем обозначения
b_n = г„ • ш; Ь,2 = Ь_2] = г,₂ m = г₂1 т; Ь_гг = г₂₂ ■ т. (2.5)
Тогда для главной части отклонения кривой на поверхности от каса­тельной плоскости получим значение
Дг m = ~[b_udu² + 2b_adudv + b₁₂dv²y
Выражение в скобках правой части данного равенства является квад­ратичной формой дифференциалов du и dv. Оно называется второй квадратичной формой поверхности. Величины Ь_п(и, и), b_]2(u, и), b₂\(u, v), b₂₂(u, и) определяют искривленность поверхности и называют­ся коэффициентами второй квадратичной формы поверхности.
Коэффициенты второй квадратичной формы можно выразить не­сколько иначе. Используем тот факт, что вектор нормали ш всегда орто­гонален векторам г, и г₂. Дифференцируя равенства m i^-! = 0 и m г₂ = О по и и и, получим
bц = -т, • г,; Ь\₂ = — т₂ - г,; Ь₂\ = -т, ■ г₂; Ь₂₂ — —т₂■ г₂,
с?т гт
где in, = •— и т₂ = частные производные нормали поверхности
ди dv
по параметрам поверхности. Перемножив скалярно дифференциалы dr = t\du + r₂du, dm = m_{du + m₂dv, придем к равенству
-dr ■ dm = b_Hdu² + 2b_ndu dv + b₂₂dv².
Вектор m имеет единичную длину. Дифференцируя по параметрам поверхности равенство m m = О, получим
т, т = 0; т₂ т = 0.
Из приведенных равенств следует, что производные нормали по па­раметрам поверхности лежат в касательной плоскости поверхности, т. е. in, и т₂ можно представить в виде разложений по векторам г, и г₂. Де­ривационные формулы Вейнгартена
_m _ b_ng₂₂ -b_ng\₂ b_ug\\-b_ug₂,
^1,1 - *1 *2>
g 8
_m _ b₂\g₂₂-b₂₂g_n b₂₂g_u - b_2ig_2i „
2 ^— M 2
S g
выражают частные производные нормали поверхности через производ­ные поверхности и коэффициенты первой и второй квадратичных форм. Коэффициенты деривационных формул Вейнгартена можно определить из системы уравнений, полученной путем умножения формальных ра­венств л!, = ОцГ, + а,₂г₂ и ш₂ = а_2]г, + а₂₂г₂ скалярно на Г] и г₂.
Установим зависимость кривизны кривой на поверхности от ориен­тации ее касательного вектора на соприкасающейся плоскости. Рассмот­рим равенство
d²г , (du^)² dudu , fdv\²
m r = o,i — +2г>,₂ + o?2 — •
dt² '\dt) ² dt dt \dt)
Вторая производная кривой на поверхности равна
4₌4_t+«²^,
dt² dt~ \dt J
где t — касательный вектор кривой на поверхности; п — главная нормаль кривой на поверхности; к — кривизна кривой на поверхности; s — дли­на дуги кривой на поверхности.
Касательный вектор t кривой лежит в касательной плоскости поверх­ности и ортогонален нормали поверхности ш, поэтому справедливо равенство