Высшее профессиональное образование

Xl	У1
Р\
х2	У2	Z2	Pi
*3	Уз	Z3	Рз
0	0	0	1

М =

При работе с расширенной матрицей предполагается, что радиусы- векторы с координатами г_ь г_ъ описаны с помощью матрицы-столбца
(
г =
1.92)
а свободные векторы с компонентами и_ь и₂, v₃ описаны с помощью матрицы-столбца
(
V =
1.93)

О

В качестве базовой для ссылочной кривой должна использоваться не другая ссылочная кривая, а базовая кривая последней с соответст­вующим пересчетом матрицы преобразования.
Кривая перехода плавно соединяет края двух кривых. Пусть, напри­мер, требуется плавно сопрячь конец кривой a(/) с началом кривой Ь(0- Радиус-вектор кривой перехода описывается формулой
г(и, w) = а(Г_тах)( 1 - Ъш¹ + 2их') + Ь(*_т1п)(3и^ - 2w³) +
+ a'(fmax)(w - 2м;² + ш^ъ)к_а + b'(?_min)(-^² + и?)к_ь\ we |0, 1 ],
. da(t)
где а'(/_тах) = -

• 
  п
  dt
  
  емой кривой; b'(?_mi_n) =
  роизводная радиуса-вектора первой сопряга- db(t)
  

производная радиуса-вектора второй
dt
спрягаемой кривой; к_а и к_ь — коэффициенты, нормирующие производ­ные a'(f_max) и b'(/_mjn) соответственно. Коэффициенты к_а и к_ь получим путем деления расстояния между сопрягаемыми точками кривых на длину производных а (/_тах) и Ь'(/_тт)-

15. 
    Составная кривая
    

Составная кривая базируется на других кривых и представляет собой наиболее общий вид кривой. Кривые, образующие составную кривую, будем называть сегментами. При построении составной кривой должны быть выполнены условия: начало каждого последующего сегмента должно совпадать с концом предыдущего. Замкнутую составную кривую будем называть контуром. Для контура начало первого сегмента должно совпа­дать с концом последнего. Если сегменты составной кривой стыкуются не гладко, то составная кривая будет иметь изломы. В общем случае в местах

стыковки сегментов производные составной кривой терпят разрыв по длине и направлению. Составная кривая приведена на рис. 1.47.
Пусть составная кривая содержит п сегментов
г
i = 1, 2, n.
,(Wt), w_imin < Wi < w_h
Начальное значение параметра t составной кривой положим равным нулю. Параметрическую длину составной кривой положим равной сум­ме параметрических длин составляющих ее сегментов
При вычислении радиуса-вектора составной кривой сначала необхо­димо определить сегмент, которому соответствует значение параметра составной кривой. Далее нужно определить соответствующее значение собственного параметра этого сегмента и, наконец, вычислить радиус- вектор сегмента, который и будет радиусом-вектором составной кривой. Пусть для параметра t составной кривой найден номер сегмента к, для которого выполняется соотношение

X K max - И'/min ) ^ ^t < £(“%iax “ “Win ) •

Тогда в соответствии с изложенным радиус-вектор составной кривой определится равенством


(1.94)



где параметр к-го сегмента равен


/=|



(1.95)
Как можно заметить, подход к вычислению радиуса-вектора состав­ной кривой аналогичен подходу к вычислению радиуса-вектора ломаной линии и сплайна Эрмита. В качестве сегментов составной кривой не должны использоваться другие составные кривые, но это не означает, что нельзя построить составную кривую из набора составных кривых. Если составную кривую нужно построить на основе других составных кривых, то последние должны рассматриваться как совокупность состав­ляющих их кривых, а не как единые линии.

Гл а в a 2 ПОВЕРХНОСТИ

Поверхности являются основным элементом описания формы моде­лируемых объектов. В общем случае поверхность имеет сложную грани­цу, которая описывается с помощью двумерных кривых в пространстве параметров поверхности. Такая граница может быть построена для лю­бой поверхности с границей простой формы, например прямоугольной. В данной главе рассмотрены методы построения поверхностей. Поверх­ности с границей простой формы могут быть построены на основе кри­вых, по набору точек и на базе других поверхностей.

1. 
   Поверхность
   

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве выбрана декартова прямоугольная система координат с фиксированным ортонормирован- ным базисом.

Поверхностью будем называть векторную функцию

Г\(и,и)
г
г (и,и) =

(2.1)
₂(и,и)
г₃(и,и

)

двух скалярных параметров и и и, принимающих значения на двумерной связной области Q. Будем считать, что координаты r_t(u, v), r₂(u, и), r₃(u, и) точки поверхности г (и,и) являются однозначными непрерывными функ­циями параметров и и и. Такое описание поверхности называется явным, или параметрическим. Описание поверхности уравнением, которому удовлетворяют координаты ее точек, называется неявным. Неявное описание, в отличие от параметрического, не всегда однозначно. Оно также не является инвариантным относительно преобразования коор­динат, т. е. при переходе в другую систему координат изменяется урав­нение поверхности.
Поверхность представляет собой непрерывное отображение двумер­ной связной области П в трехмерное пространство. Область Q будем описывать в двумерной декартовой системе координат. В частном случае область Q представляет собой прямоугольник, и параметры поверхности принимают значения в пределах M_rain < и < ы_тах, y_min < и < v_mm. В общем случае область Q описывается двумерными кривыми.
Поверхность будем называть периодической по первому параметру, если существует р_и > 0, такое, что г (и ± kp_u, v) = г (и, v), где к — цело

е
число, и периодической по второму параметру, если существуетр_и> О, такое, что г (и, v ± kp_v) = г (и, о), где к — целое число. Для устранения неоднозначности область определения периодической поверхности долж­на лежать в пределах одного периода для каждого параметра. Периоди­ческую поверхность с прямоугольной областью определения параметров £2 будем называть циклически замкнутой по первому параметру при Ри = ^итт ~ ^итт и, соответственно, циклически замкнутой по второму параметру при р_и = и_тях - v_min.
Введем обозначения
Эг дг д²г д²г д²г д² г