Высшее профессиональное образование

+ [Цо(^у) М^у)1 Цо(у)

(2.28)

г(м,у) = [ц₀(м) ц,(м)] -1ц₀(м) И|(и)1

s(0, и) s(l, v) s(0, 0) s(0,1) 8(1,0) s(l,l)

П оверхность (2.28) построена на четырех кривых, коэффициенты при которых являются линейными функциями. Такое линейное объединение четырех кривых называется линейной поверхностью Кунса. Функции и называются функциями смещения. В общем случае кривые поверхности Кунса могут не пересекаться, а точки р₀₀, Рю» Poi и р_п могут быть произвольными точками.




Рп

Из поверхностей (2.28) можно сконструировать составную поверх­ность, стыкуя их по граничным кривым, т.е. делая граничные кривые общими. Для того чтобы на стыке поверхностей производная в перпен­дикулярном направлении к границе не претерпевала излом, добавим к описанию поверхности производные в перпендикулярном к границе направлении, т.е. ее частные производные вдоль граничных кривых s„(/, и), s„(u,j) и частные производные в углах поверхности s_u(i,j), s_v(i,j), s_uv(i,J), где / = 0, 1, j = 0, 1. Линейные функции смещения заменим ку­бическими функциями смещения
a₀{w) = 1 - 3ш² + 2иг”, а|(и>) = 3w² - 2w³\
Ро(м>) = w - 2w³ + и?\ Р:(г^) = - w² + и>³.

Радиус-вектор построенной таким образом поверхности описывает­ся векторной функцией
(2.29)

s(«, 0) s (и, 1) s„(и, 0) s„(и, 1)

s(0, и) s(l, v) s„(0, и) s„(l, и)

г(м, г;)=[а₀(и) а,(ы) р_о(м) Р,(м)]-

+ [а₀(и) а,(и) р₀(у) (3,(«;)]■

’ s(0,0)	s(0,1)	s„(0,0)	s„(0,1)		(*o(v)
s(l,0)	8(1,1)	s„(l,0)	s„(l,D		a,(v)
s„(0,0)	s„(0,1)	s„„(0,0)	s„„(0,1)
_s„(l, 0)	s„(U)	s„„(l,0)	sM„(l, 1)		.Pi (v)_

П
[а₀(м) а,(и) р₀(м) р,(м)|
оверхность (2.29) называется кубической поверхностью Кунса.
Форрест (Forrest A.R.) предложил обобщить поверхности (2.28) и (2.29) и использовать вместо линейных или кубических функций смещения некоторые обобщенные функции смещения а/(и). Индекс к указывает на то, что обобщенная функция смещения умножается на векторную функцию, представляющую собой производную к-го порядка от граничной кривой. Производной нулевого порядка функции будем называть саму функцию. В терминах обобщенных функций смещения а/(и) = а,°(м), Р,(и) = а,'(м), / = 0,1. Обобщенные функции смещения должны удовлетворять равенствамг(и, и) = X X v-f(u)s[^k>(i, и) + Y_JY_ja^l_J(u)s\!⁾(uJ) -
i=0k=0 у=0/=0
1 1 п т
- ZZ ZIX (uWjivys^KiJ),
1=0 y=ot=o/=o
не[0, 1], ye [0, 1],

где используются заданные значения производных на краях поверхно­СТИ
д^кг(и, v)

у)

, 7 = 0, 1,

St»⁷

ди^к

, / = О, 1; s(w,y') =

и заданные значения производных в угловых точках параметрической области поверхности

_Ш)( _ д^к1т(и, и) ^{uv U}'^J> du^kdv‘

, i,j= 0, 1.

U=l
v=j

В качестве обобщенных функций смещения могут быть использова­ны полиномы.
Поверхность Гордона, построенная на сетке кривых, образованной семейством с,•(«), / = 0, 1, 2, п, и₀< и < и_т, и семейством bj(v),j = 0, 1,

2. 
   ..., т, v₀ < v < v_n, описывается векторной функцией
   

п т т п
г(и, u) = Y_jLⁿ_i(u)c_i(u)+Y_JL^(u)b_j(v)-Y_JY_JL!J'(u)L^,l(v)^_Ji, (2.30)
/=0 у'=0 у =0 /=0
где /,,"(«) и Lj^m(u) — коэффициенты Лагранжа (1.10); р_у — точки пере­сечения кривых: р_у/ = с,(м_;) = bj(Uj). Поверхность Гордона приведена на рис. 2.17.
Е
с „(и)