Высшее профессиональное образование

Ы»)ЪМъ₂(и) ... _К(и) Рис. 2.17
сли все кривые какого-либо семейства являются циклически замк­нутыми, то поверхность (2.30) будет циклически замкнута в соответст­вующем направлении.
Вместо функций L"(v) и Lj^m(u) могут использоваться и другие сплайны. В каче­стве примера опишем поверхность типа (2.30), используя принцип построения по­верхности Эрмита (2.18). Для параметров с₂(«)> и и и поверхности найдем индекс j из усло­вия u_J+l < и < Uj и индекс /' из условия v_i+, <
< V < V/.
Составную поверхность Кунса, нахо­дящуюся между кривыми с,(м), с,_+!(м), Ь/о),
Ь/+|(у), опишем векторной функцие

й	С,(и)		bj(u)
^^т-	C/+l(«)	+ F,^T •	by+i (y)
	S „(«,«,•)	J	su{Uj,v)
	S„(W,U,+1)		su(uJ+],v)_

(2.31)

~Fj^{

■F„

P ji P ji+l SMj,V_t) S_u(Uj,V_i+l)
P j+li P y+l/'+l Su(Uj₊l,V,) S„(«_y+1,y,._{+ 1})
S _u(Uj,Vi) S _u(Uj,V_M) S_uu{Uj,Vi) S _w(Uj,V_M)
S„(«/₊l>^y() S„(M_y+lJU,_+l) S _uu(U_J+],Vi) S_uv(u_J+],V_M)

a ₀(uj) a
(u_M-Vi)P₀(w) v-и,

где F-, =

матрицы-столбцы;

u-u

t =-

и> = -

— местные параметры поверхности, изменяю-

a₀(O a,(0 (м_у+1-ы_у)Р₀(О (и_у+| -M_y)P,(/)

и_у+|-и_у U_M -Vj
щиеся от 0 до 1; р_у/ = с,(ы_у) = Ъ_у(у,) — точки пересечения кривых; s„(m, и), s„(и, v) — частные производные радиуса-вектора поверхности по перво­му и второму параметрам соответственно; s_т(и, и) — смешанная произ­водная радиуса-вектора поверхности по первому и второму параметрам. Производные поверхности s„(w, v), s„(и, и) и s_ии(и, и) на кривых сетки вычислим по соседним кривым аналогично тому, как по соседним точкам вычисляются производные составного сплайна Эрмита (1.15) в опорных точках:
s
(w_y_, -Uj)(Uj_| -м_у+1)
_u(Uj, u) = b_hl(u) 2uj-uj.\ -u_j+1
b (y) ——— —— + b. ](y)- .
(Uj ~Uj_\)(Uj -U_j+]) (u_y+1 -M_y_,)(t/_y+| -Uj)
s_v(u, v_i) = c_i__l(u)
(,VI -y_/+l

)

2
^/-1
v:-v,, -и.
+
+ c,(m)-
c₁._tl(w)-
(y,-Vi-i){Vi-v_M) (v_M-V,)
для внутренних кривых (/' = 1, 2, ..., m - 1, г = 1, 2, ..., л - 1) и s„(M₀, у) = ^
зад-ад , _(U|iU).
^ W, -м₀
и_т-и_т_

|S„(м. ^о) = |^{С|(ц) С}°⁽“- "в„(м, u,);

2. 
   ^i-^o 2
   

S,(«, V„) = |^с”^(ц)~^с"-'-^(ц) __L(_M,

2. 
   y„-w_n_, 2
   

для крайних кривых. По частным производным s„(m, у) и s„(m, у) вычис­лим смешанные производные
Л- ''
ds_u(u,,v)
+
5
ди
м
Предположим, что в формуле (2.31) кривые с,(м) и b_y-(v) сетки пред­ставляют собой кубические сплайны Эрмита (1.15), построенные по набору точек р_у7, и определяются зависимостями:

Ру/		Ру-
Р у+1/	; Ъу (у) = /^^т ■	P//+I
s„(My,£>,-)		Sv(^uj,Vj)
_SH(My+i,y(-)_		Sv(Uj,Vi+l)

С ,(м) = /7

После подстановки этих зависимостей в (2.31) получим три одинако­вых матричных члена, два из которых со знаком «плюс» и один со знаком «минус». В результате формула (2.31) примет вид
(Иу_, -Иу)(Иу_, -Му₊|)

Р а
Ру+1/

= ^FJ ■