Высшее профессиональное образование

Поверхность Безье, построенную на семействе кривых c,(w), / = 0, 1, ..., п, опишем векторной функцией
п
£/?,"(vK(w)c,(w)

г
1=0

(2.20)
(ы, и)

=

/=о
где В "(и) — функции Бернштейна (1.17).
В общем случае каждая кривая с,(и) семейства имеет свой вес м/,(м), представляющий собой скалярную функцию параметра соответствующей кривой. Каждая линия поверхности при и = const является рациональной кривой Безье. В частном случае, когда все кривые семейства имеют не зависящие от параметра одинаковые веса, радиус-вектор поверхности Безье на семействе кривых вычислим по формуле
г
(2.21)
(м, и) = '£ВГ(и)с₁(и),
В отличие от других поверхностей, построенных на семействе кривых, поверхность (2.20) не проходит по кривым семейства

.На семействе кривых построим поверхность аналогично построению в-кривой по семейству точек. Для этого в (1.60) вместо контрольных точек подставим кривые семейства.
В-поверхность, построенную на семействе кривых сДм), /' = 0, 1, ..., п, опишем векторной функцией
£ Nj ^m(u)Wj(u)cj(u) г (u,v) = ^-_n , (2.22)
J_jNj^m{v)Wj(u)
j= 0
где Nj”(v) — 5-сплайны (1.44) w-го порядка; и/,-(и) — функции веса кривой с Дм) семейства. Каждый 5-сплайн IV/"(и) построен на неубы­вающей последовательности из от + 2 узлов Uj, v_J+h ..., v_j+m+].
Для построения совокупности п + 1 5-сплайнов т-го порядка незамк­нутой по второму параметру 5-поверхности требуется п + т + 2 узлов Vj,

1. 
   = 0, 1, ..., п + т + 1. Для построения совокупности п + 1 5-сплайнов т-го порядка циклически замкнутой по второму параметру 5-поверхно­сти требуется п + 2т + 2 узлов Vj, i = ОД, ..., п + 2т + 1. Последователь­ность узлов второго параметра поверхности строится аналогично после­довательности узлов 5-кривой (1.60). Второй параметр 5-поверхности изменяется от значения узла г;_т|_П = и_т до значения узла г;_тах = v_n+m+y.
   

Каждая линия и = const на поверхности (2.22) является 5-кривой (1.60). На рис. 2.11 приведены 5-поверхность и семейство кривых, по которым построена поверхность.
В частном случае, когда все кривые семейства имеют не зависящие от параметра одинаковые веса, радиус-вектор 5-поверхности на семей­стве кривых вычислим по формуле
г(и, м) = X Nj^m(u)Cj(u). (2.23)
7=0
5-поверхность, построенная на семействе кривых, не проходит по кривым семейства.
Пусть дано семейство кривых с,(и), / = 0, 1,..., и, направляющая кри­вая g(и) и возрастающая последовательность значений параметра на­правляющей v_b поставленная в соответствие семейству кривых. Постро­им поверхность г (и, и), проходящую по семейству кривых, учитывающую

поведение направляющей кривой. Пусть при значениях второго пара­метра, располагающихся между u_t и и_м, поверхность представляет собой взвешенную сумму кинематических поверхностей, построенных на на­правляющей g(y) с образующими с,(и) и с_/+1(м). В соответствии с (2.13) радиус-вектор кинематической поверхности, построенной на образую­щей с Дм), вычислим по формуле
гДм, и) = g(и) + М,(у) • (сДм) - g(и,)).
В соответствии с (2.14) матрицу МДу) поворота текущего подвижного базиса относительно его начального положения вычислим по формуле
МДу) = А(г;)-А-^|(у,).
Поверхность, построенную на семействе кривых сДм), / = 0, 1, ..., и, и направляющей g(и), опишем векторной функцией
г (и, и) = гДм, у)(1 - Ъш² + 2 w³) + r_i+l(u,u)(3w² - 2w³), (2.24)
• - ^ V-V. „
где индекс i найден из условия u_tM; w = ^! местный пара-
V_M~V,
метр.
На рис. 2.12 приведена поверхность на семействе из трех кривых и направляющей.

5. 
   Поверхности, построенные на сетке кривых
   

Пусть имеется два семейства кривых: семейство кривых с,-(и), / = О, 1, 2, ..., п, и_т[п < и < м_тах, и семейство кривых bj(v),j = 0, 1, 2, ..., т, y_min < и < i;_max (рис. 2.13). Пусть при м = Uj,j= 0, 1, 2, ..., т, каждая кривая с Дм) первого семейства пересекает каждую кривую b_y(i>) второго семей­ства при v = у„ / = 0, 1, 2, ..., п. Пусть параметры точек пересечения кривых образуют возрастающие последовательности: м_у < м_у+1 и у, < v_M. Два семейства кривых, удовлетворяющие перечисленным требованиям, назовем сеткой кривых

.




П
с„(и)


с ₂(и) С| (и.
Со(“'


Рис. 2.13


Ь,(у)


Рп


Рис. 2.14

ростейшей сеткой кривых являются две пары отрезков, построенных на четырех общих точках р₀₀, р₎₀, р₀₁ и р_п. Пусть первое семейство об­разуют отрезки с₀(ы) = р₀₀( 1 - и) + р_шм и С[(«) = р₀₁(1 - и) + р_пи, а вто­рое - отрезки Ь₀(у) = р₀₀(1 - у) + р₀₁у и b,(u) = р₁₀( 1 - и) + р„у.
Билинейная поверхность, построенная на данной сетке кривых, определится векторной функцией
г(и,у) = (1 - ы)(1 - у) р₀₀ + и(\ - у) р₁₀ + (1 - u)v Poi + uv р_и. (2.25)
Билинейная поверхность приведена на рис 2.14.
Поверхность (2.25) является частным случаем линейчатой поверхно­сти (2.16), построенной на двух отрезках: с₀(и) и с,(м). Билинейная по­верхность является линейчатой по обоим параметрам.
Для построения билинейной поверхности достаточно знать радиусы- векторы точек Роо, Рю. Poi ^и Рп- Если точки р₀₀ и р_ш или р_|0 и р_п совпа­дают, то получим треугольную поверхность с особой точкой.
Построим линейчатую поверхность (2.16) с приведением кривых с₀(и) и C|(w) к параметрической длине О < и < 1. К векторной функции этой линейчатой поверхности прибавим и вычтем из нее векторную функцию билинейной поверхности (2.25), где р₀₀ и р,₀ — начальная и конечная точки кривой со(и), а р₀₁ и р_п — начальная и конечная точки кривой с,(м) линейчатой поверхности. В результате этих действий векторная функция не изменится, но примет вид
r(u, v) = (1 - у)с₀(м) + ус,(м) +
+ (1 - И)(Роо(1 - у) + Р₀|У) + и(р,о(1 - У) + РцУ) -

• 
  (1 - и)(1 - у)Роо - и(1 - у)Рю - (1 - w)yp₀| - ии р„. (2.26)
  

В (2.26) введем обозначения для отрезков, соединяющих концы кри­вых с₀(м) и с,(г/): Ь₀(у) = р₀₀(1 - и) + р₀,у и Ь,(у) = р_ю(1 - у) + р„у. Если в качестве Ь₀(у) и Ь,(у) использовать произвольные кривые, начинаю­щиеся и оканчивающиеся в тех же точках, то получим поверхность Кунса. Радиус-вектор поверхности Кунса, построенной по четырем кри­вым с₀(ы), С|(м), Ь₀(у), Ь|(у), описывается функциейг (и, v) = (1 - v)c ₀(м) + ус,(м) + (1 - м)Ь₀(г;) + ub_{(v) - - (1 - ы)( 1 - у)р₀₀ - «(1 - и)Рю - (1 - Ро 1 - и*Фц.
П
(2.27)
оверхность Кунса приведена на рис. 2.15.
В качестве примера построим поверхность Кунса по четырем дугам одного эллипса
г (и, и) = р +
, , /1 ч 7Ш • ч KV . ТШ
+ я| l-w-i7-(l-v)cos—н-ysin — -(l-w)cos— + wsm — |i, +
, ( ч • 7Ш , 7Ш _/t . . nu KV I.
-*;)sin— + ycos— + (l-«)sin «cos— i->,
l 2 2 2 2 J ²
iie[0, ll.welO, l],
где p — радиус-вектор центра; ан b — полуоси эллипса; i_b i₂ — базисные векторы, лежащие в плоскости эллипса (рис. 2.16).
В точках стыковки дуг эллипса частные производные радиуса-векто­ра поверхности по параметрам и и и параллельны.
Введем обозначения:
s(w, 0) = с „(и), s (и, 1) = с ,(м), s(0, и) = b₀(y), s(l, и) = Ь,(у), s(0, 0) = р₀₀, s(l, 0) = рю, s(0, 1) = Ро„ s(l, 1) = р_п,
Цо(«0 = 1 - w, ц,(0 = w.

В результате векторная функция (2.27) примет вид
s(и, 0) s (и, 1)