Высшее профессиональное образование

г(1 - с, 0, с) = с (с₂(с) + с,(0) - рз) + (1 - с) (с₃( 1) + с₂(с) - р,) = с₂(с)
описывает кривую c₂(t₂).
Правая часть (2.51) симметрична относительно циклической пере­становки индексов. Поверхность (2.51) является треугольным аналогом поверхности Кунса (2.27).
На рис. 2.28 приведена треугольная поверхность, построенная на трех одинаковых дугах окружностей. Плоскости дуг окружностей ортогональ­ны друг другу. Дуги пересекаются в точках р,, р₂, р₃. Каждая дуга содер­жит четверть окружности.
Фактически радиусы-векторы поверхностей (2.50) и (2.51) зависят от двух параметров, так как три параметра а, Ь, с связаны равенством (2.42). Можно переписать зависимости (2.50) и (2.51) как функции двух пара­метров и ив, например: a(u, v) = и, Ь(и, и) = v, с(и, v) = 1 - и - V, где и и и принимают значения на треугольной области. Можно переписать зависимости (2.50) и (2.51) как функции тех же двух параметров и и и, принимающих значения на обычной квадратной области 0 < и < 1,

10. 
    < и < 1, например: а = и, b = и(1 - и), с = I - и - и + ии или: а - и(1 - v), b = v, с = 1 - и - v + uv.Треугольные поверхности Безье
    

Пусть имеется совокупность контрольных точек p_ijk, условно распо­ложенных в узлах треугольной сетки. На рис. 2.29 показана треугольная сетка, вдоль каждой стороны которой расположены шесть контрольных точек. Точки расположены в виде треугольника, причем вдоль каждой стороны треугольника расположено одинаковое число точек. Пусть это число равно п + 1. В приведенном на рис. 2.29 примере п = 5. Общее число контрольных точек равно (п + 1)(п + 2)/2. Каждый из трех индек­сов точки соответствует своей вершине треугольника. Точка, лежащая в вершине треугольника, имеет значение индекса, соответствующего этой вершине, равное п (максимальной значение), а значения других индексов равны нулю. Точки, принадлежащие ряду вдоль одной из трех сторон треугольника, имеют нулевой индекс, соответствующий проти­волежащей вершине. Чем ближе ряд, в котором лежат точки, к вершине, тем большее значение имеет индекс этой вершины.
Индексы точки p_ijk означают целочисленное расстояние от нее до соответствующей стороны треугольника, измеренное количеством отде­ляющих рядов. Сумма индексов контрольной точки p_jk имеет постоянное значение
/
(2.52)
+j + к = п.
Треугольную поверхность Безье опишем с помощью барицентриче­ских координат а, Ь, с. Будем считать, что поверхность Безье имеет ту же область определения параметров, что и поверхность (2.50).
Треугольная поверхность Безье, построенная по контрольным точ­кам р,_уъ описывается векторной функцией
п
г
i,j,k=Q,i+j+k=n

(о, Ь, с) = X ^вик(^а’ ^ь< ^С>Рijk =
(2.53)

а е [0, 1], йе[0, 1], с е [0, \], а + Ь + с = \.
Р302 Р212 Р122 Р032
Р401 РЗП P22I Р131 Р041
Р500 Р410 Р320 Р230 Pl40 Р050

Р(Ю5
Р104 РОИ
Р203 РИЗ Р023

Суммирование в (2.53) выполняется по всем контрольным точкам, а трехиндекс- ные функции Бернштейна имеют вид

Крайние линии поверхности (2.53) опи­сываются векторами г (а, 1 - а, 0), г(0, Ь, \ - Ь), г(1 - с, 0, с) и представляют собой

Ву_к(а, Ь, с) = -^-^а‘Ыс^к, (2.54)

где должно выполняться равенство (2.52). Треугольная поверхность Безье приведена на рис. 2.30.

кривые Безье (1.16). Покажем это на примере крайней кривой г(а,1 - а,0). Для нее с = 0, к = 0 и функции (2.54) примут вид
Що(а) = ^ а‘Ы =—^-а'(1 -а)"'¹, i\j\ i\(n-i)\
что совпадает с (1.17).
Покажем, что трехиндексные функции Бернштейна удовлетворяют равенству
X
(2.55)
ВЦ_к (а,Ь,с) = 1.
l,j,k=Q,i+J+k=n
Суммирование в (2.55) выполним по строчкам третьего индекса к = = 0, 1, ..., п. В к-й строке третьего индекса содержится т = п - к кон­трольных точек.
Z Щк(^а> b, с)= £ -_T—-aⁱb^Jc^k =
ij,k=0,i+j+k=rt i,j,k-0,i+j+k=n^l J К■
k
П\

=z
ⁿy (n-ky. ,_b„-k-i _=
k=₀k\(n-k)\ _/=0 i\(n-k-i)\
= £ C*„c* ”£ ^c>n-ka‘bⁿ~^k~‘ = '£С^к„с^к(а + Ь)^п~^к =(a + b + c)ⁿ = 1 ,
*=0 1=0 k=0
что и требовалось доказать.
Если представить, что на каждых трех соседних точках p_iJ/c, р,_щ₊₁, Pi-ij+ik построена треугольная поверхность, то получим контрольный многогранник, который дает общее представление о поверхности. Кон­трольный многогранник треугольной поверхности Безье, приведенной на рис. 2.30, показан на рис. 2.31.
Треугольная поверхность Безье не проходит через свои контрольные точки за исключением трех угловых точек.
Т рехиндексные функции Бернштейна удовлетворяют рекуррентному соотношению