Высшее профессиональное образование

^abc	1	1
1

*abc


(2.44)



где определитель системы уравнений (2.43

)
^лЬ^ис '

b^uc '

u_au_b-v_hu.

(2.45)

треугольникаРаРьРс ^или лежит на ее продолжении, то одна барицентри­ческая координата точкир равна нулю. Если точкар лежит вне треуголь­ника РсРьРсj ^т°, по крайней мере, одна ее барицентрическая координата отрицательна.
Любой двумерный вектор t = [uv]^J можно описать с помощью точек Pai Pbi Рс равенством
t = ар_а + $p_h + ур_с. (2.46)
Коэффициенты а, р, у называют барицентрическими компонентами вектора. Двумерный вектор t можно представить в виде разности радиу­сов-векторов двух точек, например, />, = аф_а + + с_хр_с и р₀ = а_ар_а + + ЬоРь + с₀р_с. Так как а, + А, + с, = 1 и а₀ + b₀ + с₀ = 1, то барицентриче­ские компоненты а, (3, у двумерного вектора связаны равенством
а + Р + у = 0. (2.47)
Значения барицентрических компонент а, р, у, соответствующие де­картовым компонентам и и и вектора t, найдем из системы уравнений
аи_а + ри_ь + уи_с = и; av_a + pi>* + уи_с = v; а + р + у = 0. (2.48)

Компоненты а, р, у определяются равенствами и иь ис	1	иа и ис	1	ua Uh и
V иь V,.	^;Р = Т-	va v ис	1 ’ ^У= л	иа иь V	, (2.49)
0 1 1	^abc	1 0 1	^abc	1 1 0

где определитель А_аЬс вычисляется по формуле (2.45).
Треугольная поверхность строится по трем точкам. Пусть область определения параметров поверхности ограничена треугольником с вер­шинами в точках Ра, Ры Рс (^см- Р^ис- 2.26). Введем барицентрические координаты а, Ь, с (2.44). Радиус-вектор треугольной поверхности, по­строенной по трем точкам р_:, р₂, р₃, опишем векторной функцией трех параметров а, b, с:
г (а, Ь, с) = ар, + bp₂ + ср₃; а + b + с = 1. (2.50)
Пусть даны три кривые с,^), с₂(/₂), с₃(/₃), попарно пересекающиеся в крайних точках р,, р₂, р₃ (рис. 2.27).
Построим поверхность внутри треугольника, образованного кривыми. Путем изменения параметризации преобразуем кривые так, чтобы точ­кам р₃ и р₂ на кривой сДгД соответствовали параметры 0 и 1, точкам р, и р₃ на кривой с₂(?₂) — параметры 0 и 1, точкам р₂ и р, на кривой с₃(/₃) — параметры 0 и 1.
Поверхность на трех кривых, построенную по данным трем кривым, опишем векторной функцией трех барицентрических координат а, Ь, с:
г (а, Ь, с) = а (с₃( 1 - Ь) + с ₂(с) - р,) + b (с,(1 - с) + с ₃(а) - р₂) +
+ с (с₂(1 - а) + с,(й) - р₃), 0<я<1, 0 < 6 < 1, 0<с<1,

а + b + с = 1. (2.51)


Pi


Сз(0


Рис. 2.28



К



Сз (О
Рис. 2.27
рая поверхности (2.51) совпадают с кривыми, по которым она по­строена.
При с = 0, b = I - а и вектор
г (а, I - а, 0) = а (с ₃(я) + с₂(0) - р,) + (1 - а) (с,(1) + с ₃(о) - р₂) = с ₃(о)
описывает кривую с₃(?₃).
При а = 0,с=1-йи вектор
г(0, b,l-b) = b (с,(b) + с₃(0) - р₂) + (1 - Ь) (с₂( 1) + с,(А) - рз) = с,(6)
описывает кривую С|(^).
При = 0, а = 1 - с и вектор