Высшее профессиональное образование

Щк = aBtfj, + ЬВ$:\_к + cBfch, (2.56)
которое доказывается непосредственной подстановкой:
^aBi-\j№, Ь, с)+ЬВЦ:1_к(а, b, с) + сВЦ_к!.₁(а, b, с) =
= а—————a‘~^xb^Jc^k +b—————a'b^J~'c^k +с—————a‘b^jc^k~^x =
(/ —1)!у!*! i\(j -\)\к\ i\j\(k-1)!
/' п\ , _к j п\ / L к п\ iui к
= a b^Jc + - a b^Jc^K + a b^Jc^K =
ni\j\k\ ni\j\k\ nl\j\k\

1. 
   + j + к n\ l г>.. / и \
   

= — ... a b^Jc^k = B?_k(a, b, c).
n /! j\k\
Начнем вычисление с функции
^в°ооа(^а’ b, с) = 1.
Далее получим В\_ай(а, b, с) = а, В^{_т(а, Ь, с) = Ь, В^[_т(а, Ь, с) = с. Функция Бернштейна, один из индексов которой равен отрицательному числу, считается равной нулю. Подставим рекуррентное соотношение (2.56) в выражение (2.53), выделив крайние точки и учитывая, что В^п_пМ = = а", В'1_Ы) = Ь^п, В^п_00п = с", В^п_т = Ыс^к, В^п_юк = а‘с^к, В"_ф = а'Ы. получим
г(а, Ь, с) = X Щ_кЪцк = YS^aB?^:hk + Щ-}_к + ^сВЦк-1 )Р/ул =
= ^а X Д +^Ь X ^fi^‘P/»U +
i,j,k=0,i+j+k=n-\ iJ,k=Q,i+j+k=n-\
п-1
V #^Л_1П - /7Г^(л-1) -4- />Г^(Л7_1) -I- ГГ^(П~<sup>])
+ с</sup> Z- ijk Vijk+\ - ^ari+\jk ^ ^orij+lk ^{+ Cr}ijk+\ >
i,j,k=0,i+j+k=n-1
где введены обозначения
я-1 я-1
i+\jk 2~t ijk P/+1 jk ’ //+1Л: ijk \?ij+\k >
i,j,k=0, i,j,k= 0, i+j+k=n-l i+j+k=n-\
n-1
(/Л+1 ijk P/y'Ar+l*
i,j,k=Q,
/'+j+k=n-\
Выполнив описанные действия для и » в конце
придем к равенству
^г$⁾⁼⁵йю(а, Ь, с)p_ijk =р_jk.
Обозначим г (а, Ь, с) через г,'^. В результате получим рекуррентное соотношение для вычисления точки треугольной поверхности Безье
_rW= п _r(*-i) + + cr (2 57)
¹ ijk ^urMJk ^ ^и ij+lk ^ ^{L r}ijk+1 ’
где i+j+k = n- m (i,j, к > 0), г⁽$. = p_iJk, г⁽Й₀ = r (a, b, с). Алгоритм, описываемый соотношением (2.57), называется алгоритмом Де Касте-
лье. Точки r,y"J получаемые в процессе вычисления, называются точками Де Кастелье. Алгоритм Де Кастелье позволяет вычислить любую точку треугольной поверхности Безье по контрольным точкам, ничего не зная о функциях Бернштейна. Коэффициенты а, Ьис при координатах точек ^ri+ljk’ ^{1 и} г^;,» являются барицентрическими координатами. Тре­угольную поверхность Безье можно определить как поверхность, точки которой определяются рекуррентным соотношением (2.57) по совокуп­ности контрольных точек.
От треугольной поверхности Безье п-й степени можно перейти к тре­угольной поверхности (п + 1)-й степени аналогично тому, как это было сделано для кривых Безье. Для этого умножим правую часть равенства

на сумму а + b + с, равную 1, и получим

a‘b^Jc^k+] p_iJk =

a^i+]b^Jc^ki

П



ij\k= О, /+j+k=n

г (а, Ь,с)= £ В$_к р_ик =

i,j,k= О,
/+j+k=n+1

n+1
X p_ijk , (2.58)



Ф/-1 jk + JPij^k + kVijk-\

где p_jk =

n +1

новые контрольные точки.

Новых контрольных точек на один ряд вдоль каждой из трех сторон треугольника стало больше. Точки в углах треугольной сетки остались прежние: р*_л+шо = р„оо, Ро*₊ю = Ро«о. Poo«₊i = Poo,,- Выражение (2.58) описы­вает ту же поверхность, что и выражение (2.53), только через другие контрольные точки.
Пусть треугольная поверхность Безье построена на совокупности контрольных точек p_iJk, образующих треугольную сетку, показанную на рис. 2.29. Припишем каждой точке р_ок вес w_ijk.