Высшее профессиональное образование

N_M\tj)=^tj~^tj-' (1.82)
0+2-0-1 0+1-0-

1и два 5-сплайна второго порядка:
Nj_i\tj)= ^{tjn tj} ; Nj__x¹(t_j)= ^{tj tj}-' . (1.83)
0+1 j-1 j+1 y-l
После подстановки (1.82) и (1.83) система уравнений для определения контрольных точек примет вид

" 1	0	0	0	0 .	. 0	0	0	0		Ро		а«
«10	«11	0	0	0 .	. 0	0	0	0		Pi		^а 0
0	«21	^а22	«23	0 .	. 0	0	0	0		Рз		^al
0	0	^аЪ2	«33	«34 •	. 0	0	0	0		Р2		^Я2
0	0	0	«43	«44 •	. 0	0	0	0		Рз	=	^аз
0	0	0	0	0 .	• «/7—1 Я — 1	«я-1я	0	0		Ря-1		^ая-2
0	0	0	0	0 .	• «ля-1	«яя	«яи+1	0		Ря		^a„-i
0	0	0	0	0 .	. 0	0	«Л+1Я+1	«я+1я+2		Ря+1		^а'я
0	0	0	0	0 .	. 0	0	0	1		_Рп+2_		. ^яп .

На рис. 1.40 приведена 5-кривая третьего порядка, совпадающая с кубическим сплайном, построенным по шести точкам (п = 5).
На рис. 1.41 приведен набор 5-сплайнов 5-кривой третьего порядка, совпадающей с кубическим сплайном и показанной на рис. 1.40.
Для циклически замкнутого кубического сплайна контрольные точки Р/,7 = 0, 1, •••, ^п- найдем из условий: г(х,) = а„ i = 0, 1, ..., п. Число кон­трольных точек 5-кривой будет равно числу заданных точек сплайна.

Р4

Рис. 1.41
Рассмотрим NURBS-представление незамкнутого составного сплайна Эрмита третьего порядка (1.15) при значениях параметра х_ь проходящего через точки а, и имеющего в этих точках производные q„ где i = 0, 1, 2, ..., п — номера точек. Сплайн Эрмита представляет собой составную кривую третьей степени с разрывными производными второго и третьего порядка в точках х_ь поэтому для построения 5-кривой будем использовать 5-сплайны третьего порядка N}(i) с кратными узлами. Для совпадения начальной и конечной точек сплайна и 5-кривой начальные и конечные четыре узла последовательности должны иметь кратность, равную четырем, остальные узлы — кратность, равную двум. Построим следующую последовательность узлов: t₀ = t_i=t₂ = t₃ = x₀, t₄ = t_s=x_h t₆ =
= t-j = X₂, t% = t₉ = X₃, ..., t₂i+2 = ?2/+3 ^{= x}h •••> hn ⁼ hn+\ — ^xn-1 > hn+2 ⁼ hn+Ъ ⁼
= hn-A = hn+s = ^xn- Всего последовательность содержит 1{п + 1) + 4 узла. 5-кривая будет содержать 2п + 2 контрольных точек. Вес каждой кон­трольной точки положим равным единице. Таким образом, 5-кривая, совпадающая со сплайном Эрмита, будет иметь вид
2п+\
Г(/)= £ WjfOP/.
j=Q
5-кривая, так же как и сплайн Эрмита, будет иметь область опреде­ления х₀< t < х„.
Начальная и конечная контрольные точки 5-кривой равны, соответ­ственно, начальной и конечной точкам сплайна: р₀ = а₀, p₂„+i = а„. Со­седние с ними контрольные точки 5-кривой построим следующим об­разом:
^Х\ ~^Х0 ^Хп~ ^Хп-\
Pi = а₀+-^! ₃ Чо; Ргя ^=ая з Ч
Далее на основе каждой «внутренней» контрольной точки а„ / = 1, 2,..., п - 1, сплайна Эрмита построим пару контрольных точек 5-кривой следующим образом:
Р2, =а, -*' ~^Хм Ч,-; Р2/+1 =а, +—р^Ч-- (1-84

)


Используя формулы (1.62) и (1.63), определим значения 5-сплайнов при значениях параметра 1 = x_h i = 0, 1, ..., п. Для параметра t = х₀ отли­чен от нуля только один 5-сплайн третьего порядка N_0²(x₀) = 1 и один 5-сплайн второго порядка /V,²(x₀) = 1. Для параметра t = х„ отличен от нуля также только один 5-сплайн третьего порядка N\_n+\(x_n) = 1 и один 5-сплайн второго порядка Щ_п+\(х„) = 1. Из (1.82) следует, что для каж­дого значения параметра t = t_t= tj__hj = 5, 6, ..., In + 1, отличны от нуля только два 5-сплайна третьего порядка:
ДГЗ (/.)= ■ ДГЗ (t)= ^tj⁺.¹. rJj ^tJ~Jj-²