Высшее профессиональное образование

t — t t —t
* j Ч-т+1 j ^lj-m+\

j-m+\ (i)

tj-t

где w^ik)j =(m + l-k)

(k-1)

Y.^NmjWj = I ^^т-\,

(1.80)

7=0

N^m,{f), ..., N^m_i+m(t), и их сумма равна единице. Для доказатель­
ства этого свойства нужно в формуле (1.53) использовать (1.77) вместо (1.52).
5-сплайны Nj__m_\^m(f) и построенные на одной и той же после­
довательности узлов, совпадают, поэтому 5-кривая (1.60) совпадет с кри­вой

m-l

t-t

-, к = 1, 2, ..., m,j = 0, 1, ..., n - k,

j j-m-l+k

w⁽⁰) = Wj.

Доказательства равенств (1.80) и (1.81) аналогичны доказательствам равенств (1.65) и (1.66).
Преобразуем числитель выражения (1.79), используя формулу (1.75), следующим образом:

wr(t) = £ N^mjWjPj = X N^mjWjPj =
7=0 j~t

tj-t
^WjPj+- 7 ^Wj+\P 7+1

m-l _r(l) _
j j

(к-1)

w

-W

7+1

(k)

(1.81)

w

о

7=0

P^(/c^y₊i-P ^ik~^Uj

где p^{k): =(/w + l- k)

, к = 1, 2, m,j = 0, 1, n - k.

P⁽⁰⁾7 = ^WjPj-

Производная Л-го порядка для знаменателя правой части (1.79) равна

d^kw d^k ~dt^{r =} ~dt^k

r(t) =

(1.79)

X/V^mj(0wj
j=о
при уменьшении на т + 1 значений индексов всех узлов кривой (1.60). Кривую (1.79) отличают от кривой (1.60) только рекуррентные соотно­шения, с помощью которых вычисляются радиус-вектор кривой и его производные.
Производная к-го порядка для числителя правой части (1.79) равна

d^k(wr) _ d^k dt^k dt^k

Пусть задана бесконечная (или достаточно длинная) неубывающая последовательность узлов /, и на каждых т + 2 подряд расположенных узлах построен 5-сплайн т-то порядка. Для определения (1.71) при лю­бом /,_] < t < tj отличны от нуля только m + 1 5-сплайнов, а именно,Y_JN^mjw_{J P}, = £лг-*_уР<»
7=0 ) 7=0


i+m-l
= z N*


i+m-2
= z *
j=‘
i+m-2 i+m-m
= £ N^m~²jr⁽²⁾j = ... = Z ^°_y(/)r_y=r^(m)_y,



где введены обозначения г⁽⁰⁾_у- = wjpj, т^<к)j = - г
j+ ^£ X
t —t t —i
j j-m-l+k ¹ j * j-m-\+k
xr^(W)i₊| при изменении к от 1 до m. Для знаменателя выражения (1.79) получим аналогичное выражение
i+m i+m-1 i+m-2
w(t)='£_jN^m_jw_j = £ N^m~'jW^mj = £ N^m-¹_jw^mj=..=w^(m\,
j=i J-i j=i
где введены обозначения мИ^0>,= w,-, w^(k) , = —-—,+ ——*j~^mA+k _x
/ — t ^J t —t
j j-m-\+k ^lj ¹ j-m-l+k
хи>⁽*^_1),₊1 при изменении & от 1 до ли.
Мы получили алгоритм Де Бура для вычисления радиуса-вектора точки fi-кривой (1.79) при определении Л-сплайнов (1.71) для парамет­ра /_ы < t < t,
wr(t) _ r^(m\
r (t) =

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2
fHib 13
«)-£■ ^ р„ 15
... -h 18
+ q,₊i(-^² + w³)(t_hi - h) = a₀(^)p, + «i(^)p,₊i + Po(^)(^₊i - Oq, + 18
г, = 27
<{ 29

_w(k) ^tlZi и,(*-1) _{+ w}(k-l)
t —t t —t
j j-m-l+k ¹ j * j-m-l+k
начиная со значений г⁽⁰⁾_у- = w-pj, w^W)j = Wj.
й-кривые (1.60) и (1.79) эквивалентны и вся разница заключается в предпочтении использования определения В-сплайнов (1.44) или оп­ределения 5-сплайнов (1.71).
Рассмотрим частный случай В-кривой, В-сплайны я-го порядка Nⁿi(t), / = 0, 1, п, которой построены на последовательности узлов t_\__n = = t_\ = 0, /₀ = t\ = ... = /„ = 1. Рекуррентное соотношение (1.73)
для такой последовательности узлов примет вид
М",(0 = (1 - t)Mⁿ \(t) + tMⁿ
Так как каждый 5-сплайн отличен от нуля на отрезке 0 < / < 1, то В- сплайны будут связаны соотношением
W",(/) = (1 - О^-'Х?) +
которое начинается с Я-сплайна №₀ = 1. Сравнив полученное рекур­рентное соотношение с (1.19), придем к выводу, что Nⁿj(t) = B?(t) на последовательности узлов t__x_„ = t_„ = ... = t__{ = 0, t₀ = t_x = ... = t„ = 1. Из равенства частного случая 5-сплайнов Nⁿj(t) и функций Бернштейна B"(t) следует равенство частного случая 5-кривой (1.79) и рациональной кривой Безье (1.34). Так как Nⁿ_hn__x(t) = Nⁿj(t), на последовательности узлов t₀ = г, = ... = /_п = 0, t„_+] = t„₊₂ = ... = t_2n+i = 1 5-сплайны Nⁿ,{t) будут равны функциям Бернштейна B"(t) и, следовательно, частный случай 5-кривой (1.60) совпадет с рациональной кривой Безье (1.34). Таким образом, мы видим, что В-кривая является обобщением кривой Бе­зье.

14. 
    Частные случаи ^-кривых
    

На последовательности узлов t₀ = t\ = 0, t₂ = t₃ = 1 построим два 5-сплайна первого порядка

JV,°(/) = l-r; = =
~t\

5-кривая (1.61) на базе этих 5-сплайнов представляет собой отрезок прямой
г(t) = ЛГоЧОРо + jV/(/)Pi = (1 - ОРо + *Pi>
соединяющий точки р₀ и р,.
Если построить 5-кривую (1.61) по п + 1 вершинам на последователь­ности узлов t₀ = ti< t₂ <, < t„₊1 = t_n+2 на базе 5-сплайнов первого по­рядка, то она будет представлять собой ломаную линию. Область изме­нения параметра 5-кривой в этом случае равна * t S t_n+2. 5-сплайны первого порядка определяются равенством
N](t) = i ^ti+2 если t_M < t < t_l+2;