Высшее профессиональное образование

Свойство 6. Пусть 5-сплайн построен на неубывающей последова­тельности узлов t_h t_i+1,..., t_i+m+l. Из соотношения (1.55) и равенства (1.58) следует, что 5-сплайн т-го порядка является т раз дифференцируемой функцией. При отсутствии кратных узлов 5-сплайн и его производные до (т - 1)-го порядка включительно являются непрерывными функция­ми и при t = t, и / = t_i+m+, равны нулю.
Свойство 7. Площадь под любым ненормированным ^-сплайном удовлетворяет равенству

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2
fHib 13
«)-£■ ^ р„ 15
... -h 18
+ q,₊i(-^² + w³)(t_hi - h) = a₀(^)p, + «i(^)p,₊i + Po(^)(^₊i - Oq, + 18
г, = 27
<{ 29

Равенство (1.59) получим, проинтегрировав усеченную степенную функцию (1.43) в указанных пределах
"У (_z-ty₊"dt = -!—(z-t_mjr'—Ц(г-/™,)Г'
, т +1 т +1
'min
и вычислив разделенную разность (т + 1)-го порядка для полученной функции на последовательности узлов 5-сплайна. Второе слагаемое правой части на области ?_min < z ^ /_тах равно нулю, а первое слагаемое — полиному (т + 1)-й степени, разделенная разность (т + 1)-го порядка которого в соответствии с соотношением (1.41) равна коэффициенту при г"*⁺ \ т.е. \/(т + 1), что доказывает равенство (1.59).
Из (1.59) следует равенство
+оо ‘max и. ^
JN[”(t)dt = (t_mm-t_min) j M?(t)dt = ^max
-» 'min ^{m + I}
для вычисления площади под 5-сплайном.

9. 
   /?-кривые
   

Построим неоднородную рациональную кривую на основе 5-сплай­нов Nj^m(t) по контрольным точкам р_;, обладающим весами Wj,j = 0, 1,..., п (п > т). Радиус-вектор кривой вычислим по формуле
X ^NT^^wjVj
г(/) = ^ . (1.60)
iN?(t)Wj
7=0
Каждый из 5-сплайнов m-го порядка N™(t) построен на неубываю­щей последовательности из т + 2 узлов tj, t_j+b ..., t_j+m+\. Кривая (1.60) в общем случае является неоднородной и рациональной. Неоднородность кривой свидетельствует о том, что ее узлы отстоят друг от друга на не­равных расстояниях, а рациональность кривой — о наличии весов у кон­трольных точек, что влечет за собой присутствие знаменателя в форму­ле (1.60). Кривую (1.60) называют NURBS-кривой, или В-кривой. Аб­бревиатура NURBS получена из первых букв словосочетания Non-Uniform Rational В-Spline

.Когда все контрольные точки кривой (1.60) имеют равные веса, то в силу равенства (1.54) радиус-вектор 5-кривой вычислим по формуле
«•(/) = £/v;'(f) р,. (1.61)
у=о
Такой же вид формула (1.60) имеет в терминах однородных координат
(1.35):
R(r)=JyV7(?)P_/.
У=о
Для построения совокупности п + 1 5-сплайнов /n-го порядка не­замкнутой 5-кривой требуется п + т + 2 узлов. Последовательность узлов /₀, t\,..., t_m+n+2, на которой строится 5-кривая, называют узловым вектором. Форма 5-кривой зависит не только от расположения кон­трольных точек, но и от значений узлов. Для того чтобы продемонст­рировать зависимость формы кривой от значений узлов, простроим две 5-кривые одного и того же порядка по одним и тем же контрольным точкам, но с разными узловыми векторами. На рис. 1.29 приведены две fi-кривые и ломаная линия, построенные по одним и тем же контроль­ным точкам. Сплошной линией на рис. 1.29 показана 5-кривая третье­го порядка с узловым вектором 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; штриховой — с узловым вектором 0, 1, 11, 12, 22, 23, 33, 34, 44, 45, 55. В качестве узловых векторов взяты две различные неубывающие последователь­ности из 11 чисел. Тонкой линией на рис. 1.29 показана ломаная линия, построенная по контрольным точкам 5-кривых.
Н а рис. 1.30 приведена 5-кривая 3-го порядка, построенная по тем же контрольным точкам, что и 5-кривая на рис. 1.29, но имеющая уз­ловой вектор 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4. 5-кривая, приведенная на рис. 1.30, имеет кратные узлы в начале и конце узлового вектора и поэтому проходит через свои крайние контрольные точки. Чтобы незамкнутая кривая проходила через первую и последнюю контрольные точки, первый 5-сплайн должен иметь кратными первые т + I узлов из т + 2 узлов, на которых он строится, а последний 5-сплайн должен иметь кратными последние т + 1 узлов из т + 2 узлов, на которых он строится, т. е. для незамкнутой 5-кривой, проходящей через крайние точки, требуется выполнение равенств t₀ = = ... = t_m и t_n+] = t„₊₂ = ... = t_n+m+





Для построения совокупности п + 1 5-сплайнов т-го порядка циклически замкнутой 5-кривой требуется п + 2т + 2 узлов (узловой вектор должен быть расширен на т узлов). Последовательность узлов должна отражать замкнутость: пер­вые 2т узлов должны идти через интервалы, повторяющие интерва­лы, через которые идут последние Рис. 1.31 2/я узлов, т.е. для замкнутой 5-кри­
в ой требуется выполнение равенств h ~ ^го - t„+2 ~ Ai+i> h ~ h = t„+з - t„₊2,..., t_2m+\ - t_2m = t_n+2m+2 - t„+2_m+i- На рис. 1.31 приведена циклически замкнутая 5-кривая 3-го порядка, имеющая узловой вектор -3, -2, -1, О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, а также ломаная линия, построенная по 8 контрольным точкам 5-кривой.
Параметр 5-кривой изменяется от значения узла r_min = t_m до значения узла r_max = t_n+m+,. Число узлов 5-кривых всегда больше числа контрольных точек, поэтому узловой вектор называют расширенным.
5-кривые, построенные на узловых векторах, не содержащих кратных узлов или содержащих кратные узлы только в начале и конце узлового вектора (для незамкнутых кривых), имеют непрерывные производные до (т - 1)-го порядка включительно на всей области определения. Если узловой вектор содержит кратные узлы, кроме краевых, то непрерывность соответствующих производных кривой будет нарушена.
В соответствии с формулой Кокса—Де Бура (1.48) схема вычисления одного 5-сплайна NJ”(t) формально выглядит следующим образом (по­рядок 5-сплайна возрастает сверху вниз, а номера узлов возрастают слева направо):

Nf(t)