Высшее профессиональное образование

+ S[^fh A+ll ^am-\\h+U h+2i 4t-m+ll + 0 + ... + 0 =

• 
  (tj t) a_ni \t_r tj₊1, lj,_nt. j ] + u_m ;[j, tj₊2, fj+m+1]* (1-46)
  

Рис. 1.27





18

_ tj+m+1 ^ ^i+m+1 4

® ni 1К / - h h+2’ •••> ti+m+\\^Jr

и получим

(1.45)



з



18

₌ (l-r)³w_flp₀ +3/(1 ~/)²WiP, + 3/²(l -t)w₂p₂ + t³u>_}p_{3 =}
(1 -/)³^o +3/(1 -t)²u>_x +3/²(l ~t)w₂ +t*w₃

; p.i - P2-

Po - Po! P? -

(1.35)

ределится формулой — =

__м _г(0 + 8(рр_у

(1.39)

P\t, t_x\ =

W -

S -S\-S₂

Рис. 1.19

Po

(1.33)

(1.34)

p
w=-1

Po

Рис. 1.20 P2

О

Pi< k> = 0,5



Рис. 1.21 Рис. 1.22



18

С
Р

Р2

Ро

Р

cos(a/2)

(1.32)

(1.31)

(1.30)

₌ (l-/)²p₀ + 2/(l-/)wp| +?² p₂ (1 -/)² + 2/(1 -t)w + t²

Коэффициент

“о ."О

“о,Wo

(v-v₀) =

as
dv

aS
ди



Рис. 1.16 Рис. 1.17

Рис. 1.18



18

Р1

Ро

Рис. 1.15

ди
dS
dv

2мц

v| = 0;

2v_n

; м₂ = 0,

Рис. 1.13





18

г(0 = £д«(0р₁=£—^Ц-/'(1-г)^и-'р,; /е[0, 1]. (1.16)




Рис. 1.11




Рис. 1.10

-t'(l-t)"-‘ +-

/1-1

(1.20)

где w -




Рис. 1.6

(1.И)

Постоянные интегрирования с, и с₂ определим из условий на концах участка г(/,) = р, и г(/,₊,) = р_/+1. После вычислений получим



I /



18

ht.
2л'^г

(1.7)

18



18



В точках кривой с отличной от нуля кривизной главная нормаль, бинормаль, радиус кривизны р и кручение кривой вычислим по форму-

г
р =


(1.5)

(1.6)

Г

(1.1)

]•



Посвящается Марии



В (1.46) использовалось равенство нулю разделенных разностей выше первого порядка для функции g(z). Подставим в (1.46) вместо ст_т_,\t_ht_M, ..., t_i+m+ [] определение разделенной разности (1.37)


t-t.


+



(1.47)

Перепишем равенство (1.47) с использованием определения ненор­мированного 5-сплайна (1.45) и получим формулу

л/,^и(?) =

М”? (t) + ¹ мг' (t).
14-И! 4-1 Л'

(1-48)

Рекуррентное соотношение (1.48) было получено независимо Мэнс­филдом, Коксом (Сох M.G.) и Де Буром (De Boor С.) и называется формулой Кокса—Де Бура. Это соотношение занимает центральное место в теории 5-сплайнов. Оно побуждает забыть о разделенных раз­ностях и определить 5-сплайн т-го порядка для последовательности т + 2 узлов t_h t_M,t_i+m+\ как функцию, вычисляемую по рекуррентно­му соотношению (1.48) при начальных значениях

е
M?(t)= K₊i-M’ О,

(1.49)
сли min(/,, r,₊₁) < t < max(/,, t_M);
в остальных случаях

.

Равенство (1.49) выражает ненормированный 5-сплайн нулевого порядка через разделенную разность первого порядка для функции a₀(z) =
Отвлечемся в формуле (1.48) от индексации и рассмотрим ее с ис­пользованием барицентрических координат. Пусть дана произвольная последовательность т + 2 узлов, хотя бы два из которых имеют отличные друг от друга значения. Вспомним, что разделенная разность не зависит от порядка следования узлов в списке аргументов. Из последовательно­сти т + 2 узлов выберем два произвольных несовпадающих узла t_a и t_b. На базе этих двух узлов введем барицентрические координаты
a(_t) = l±-L- b{t) = ^-L
h-ta t_a-t_b
Введем следующие обозначения. Последовательность т + 2 узлов t_h t/₊1, ..., t_t+m+1 обозначим через Т. Последовательность т + 1 узлов, по­лученную из Т удалением узла t_a, обозначим через Т\а. Последователь­ность m + 1 узлов, полученную из Тудалением узла t_b, обозначим через Т\Ь. Разделенную разность (ш + 1)-го порядка усеченной степенной функции (z - t)+ на последовательности узлов Т обозначим через M^r(t). Разделенную разность т-го порядка усеченной степенной функции (z - t)+~^l на последовательности узлов Т\а обозначим через M^T'^a(t). Раз­деленную разность m-то порядка усеченной степенной функции (z - t)+~^l на последовательности узлов Т\Ь обозначим через M^Tb(t). Тогда форму­ла Кокса—Де Бура (1.48) для вычисления ненормированного 5-сплайна на последовательности узлов Т примет вид
A
(1.50)
f(t) = a(t) M^^a(t) + b(t) M^^b(t)

.Рис. 1.28
Так как разделенная разность является симметричной функцией сво­их аргументов, то последнее рекуррентное соотношение не зависит от выбора узлов t_a и t_b. Рекуррентное соотношение (1.50) начинается с вы­числения ненормированных 5-сплайнов нулевого порядка (1.49).
Для наглядного представления соотношения (1.48) будем считать, что узлы последовательности расположены в порядке возрастания их значе­ний: t, < t_i+1 < ..., < t_l+m+ [, тогда один из двух 5-сплайнов (т - 1)-го по­рядка будет примыкать к началу вычисляемого 5-сплайна, а другой — к концу вычисляемого 5-сплайна (рис. 1.28). Каждый из двух 5-сплай­нов (т - 1 )-го порядка умножается на коэффициент, пропорциональный расстоянию параметра t от крайнего узла заданной последовательности, к которому 5-сплайн (т - 1)-го порядка примыкает. Сумма этих двух коэффициентов равна единице.
С помощью 5-сплайнов будем строить кривые на базе точек, в ко­торых индекс узла привязки 5-сплайна будет равен индексу точки. По­этому для построения кривых используются неубывающие последова­тельности узлов, так как узлы связаны с параметром кривой. Кроме того, совокупность 5-сплайнов, построенная на неубывающих последователь­ностях узлов, при заданном параметре t обладает определенным свой­ством. Таким образом, в практических задачах 5-сплайны строятся на узлах, являющихся частью общей последовательности узлов, располо­женных подряд.