Высшее профессиональное образование

р,||г - rjsina, S₂ = 0,5|р₂ - p,||r - rjsina, где a — угол Р₀Р|Р₂. В приня­тых обозначениях вес средней точки выразится через площади треуголь­ников формулой

Вес w точки Р) можно найти, если S_XS₂ * 0, т. е. если точка г не лежит на линиях Ро - р, и р₂ - р,. В общем случае вес может быть как положи­тельным, так и отрицательным. Как видно из рис. 1.19 и 1.20, если точка г лежит внутри треугольника Р₀Р|Р₂, то вес точки р₍ положителен, в про­тивном случае — отрицателен.
ЗА.² — 2А. — 1
Знак второго инварианта / = —— конического сечения (1.25)
4
характеризует тип кривой: при / > 0 коническое сечение имеет эллип­тический тип; при / < 0 — гиперболический тип; при / = 0 — параболи­ческий тип. Из соотношения (1.31) следует, что при \w\ < 1 кривая (1.30) описывает участок эллипса, при \ w\ > 1 — участок гиперболы; при \w\ = = 1 — участок параболы.

6. 
   Рациональные кривые Безье
   

Формула (1.30) имеет несимметричный вид, так как коэффициет w приписан только точке р,. Умножим числитель и знаменатель правой части (1.30) на некоторое число w₀ и получим
₌ (1-O²^op₀ + 2?(1-Qw_lp_l +f²p₂w₀ (1 -t)²w₀ +2/(1 -t)w_x +t²w₀ '
где w| = w₀w

.


Заменим iv₀ в правой части формулы на некоторое число w₂. После таких изменений контрольные точки р₀, р,, р₂ получат коэффициенты w₀, w_h w₂ соответственно, а формула (1.30) примет симметричный вид. В результате получим кривую
2
-> У B}w,р, _г(;) ^oPo + ^O-^iPi +t w₂p_{2 =}
(\-t)²w₀ + 2t(l-t)w_t +t²w₂ £_Bi_w
/•=0
Коэффициенты w₀, w_b w₂ называют весами контрольных точек.
Используем полученный результат для обобщения кривой Безье про­извольной степени. Аналогично зависимости (1.33) запишем формулу для вычисления радиуса-вектора кривой Безье, построенной по произ­вольному числу п вершин, в виде
;/e[0, 1],
где B"(t) — функции Бернштейна (1.17). В общем случае каждая кон­трольная точка р, кривой (1.34) имеет свой вес w_t. Кривые, контрольные точки которых обладают весами, называют рациональными. Кривая (1.34) называется рациональной кривой Безье степени п.
В общем случае всегда можно перейти от рациональной кривой Безье степени п к рациональной кривой Безье степени п + 1, умножив числи­тель и знаменатель правой части равенства (1.34) на равное единице число t + (1 - t) и перегруппировав слагаемые.
Покажем это на примере квадратичной рациональной кривой Безье. Умножим числитель и знаменатель правой части равенства (1.33) на равное единице число t + (1 -1), перегруппируем слагаемые по степеням произведений t и (1 - /) и в результате придем к выражению
_{r(/) =} (1 - /)³м;₀р₀ + r(l - /)²(2W|P, + w„ Р(>) + /²(1 - 0(2^^, + w₂p₂) + t³w₂ р,
(\ -1)³w₀ +1(\ - t)²(2w_t + w₀) + t²(l-t)(2w_{ + w₂) + t³w₂
Придадим правой части этого равенства форму кубической кривой Безье. Для этого введем обозначения для весов и вершин в правой час­ти последнего выражения

2w,p, +w₀p₀. , 2W|P] +w₂p₂ 3m^|* ’ ² 3 w

{

Теперь квадратичная кривая (1.33) примет форму кубической кривой (опустим звездочки у контрольных точек и их весов)

Полученная кубическая кривая полностью совпадает с исходной квадратичной кривой, но ее контрольная ломаная и веса контрольных точек стали другими. Умножив числитель и знаменатель правой части последнего равенства на не равное нулю число / + (1 - /), перейдем к ра­циональной кривой Безье четвертой степени, которая описывает все то же коническое сечение. Этот процесс можно продолжать и дальше.
Если считать, что в знаменателе правой части (1.34) стоит вес w(t) радиуса-вектора кривой г(/), то его можно считать дополнительной ко­ординатой, так как формула его вычисления через веса вершин совпа­дает с формулой вычисления координат радиуса-вектора через коорди­наты вершин. При работе с точками, имеющими вес, удобно использо­вать однородные координаты
wp_x
wp₂ \wp
где р_ь р_ъ р_ъ — координаты точки р; w — вес точки. В терминах одно­родных координат радиус-вектор рациональной кривой Безье описыва­ется равенством, по форме совпадающим с равенством для кривой Безье
(1.16):
Вес точки подвергается тем же преобразованиям, что и ее координа­ты, поэтому с однородными координатами радиуса-вектора можно ра­ботать без выделения декартовых координат. Декартовы координаты точки рациональной кривой получим делением однородных координат на дополнительную координату.
Радиус-вектор рациональной кривой равен частному отделения двух функций параметра кривой, поэтому при вычислении производной ра­циональной кривой правую часть следует рассматривать как сложную функцию. Если условно обозначим радиус-вектор рациональной кривой
wr „ „
как г = —, то производная радиуса-вектора рациональной кривои оп-
w
dr _ 1 d(wr) wr dw dt w dt w² dt
Если веса всех контрольных точек равны, то их можно вынести из- под знаков суммирования и сократить. Тогда в силу свойства полиномов Бернштейна (1.18) рациональная кривая Безье (1.34) становится равной обычной кривой Безье (1.16)

.


Рис. 1.23
Наличие весов у контрольных точек дает дополнительные возможно­сти при редактировании кривой. Заменим вес Wj на Wj + Aw, тогда кривая

34. 
    изменится на кривую
    

£ B?(t)WjPi + B”(t)Awp
г *(/) =
£ В? (t)Wf + Я" (t)Aw ^{1 + 5(Г)}
ы о
B”(t)Aw
где 5(/) = — . Следовательно, для любого Aw > 0 точка исходной
Z B?(t)_Wi
1=0
кривой смещается к точке ру и ее новое положение г(/)* делит в отно­шении 1:6(г) отрезок с началом в точке г(t) и концом в точке р_у.
На рис. 1.23 приведены рациональные кривые Безье пятой степени, построенные по одним и тем же контрольным точкам с весами, равны­ми единице, для всех точек, кроме точки р₃. Видим, что чем больше относительный вес точки, тем ближе к этой точке располагается рацио­нальная кривая Безье. Если вес точки отрицательный, то точка как бы отталкивает кривую от себя.
Несмотря на большие возможности, кривые Безье обладают некото­рыми ограничениями, а именно: порядок кривых жестко связан с числом точек; область определения параметра кривых предопределена; кривые не могут быть циклически замкнутыми.

7. 
   Разделенные разности
   

Разделенные разности используются для построения сплайнов. На основе разделенных разностей строятся скалярные функции, являющие-ся обобщением функций Берштейна, которые широко применяются в геометрическом моделировании.
Пусть нам известны значения/(/,) некоторой функции /(/) при зна- чениях-'параметра t_r Разделенными разностями первого порядка назы­вают отношения
Л/о,Г,1-^*4 <¹³⁶>
По разделенным разностям первого порядка вычисляются разделен­ные разности второго порядка
f\_t , _t л_
J L'o>'i>‘2J- " ~ •
*2
Разделенные разности т-го порядка вычисляются по разделенным разностям (т - 1)-го порядка
/[/₀, t_m)= ^/[/|^’ •••■^{tJ 1}. (1.37)
Параметры t_h i = 0, 1, ..., m, называют .узлами. Разделенные разности будем обозначать символом функции, по которой она построена, с квад­ратными скобками, в которых перечислены узлы. В литературе для раз­деленной разности используется также обозначение [/_ь t₂, t_m]f По­рядок разделенной разности на единицу меньше числа узлов в квадрат­ных скобках. Разделенными разностями нулевого порядка считаются значения функций в узлах /[ /,] = /(/,).
Разделенная разность т-го порядка выражается через значения функ­ции /(/) в узлах соотношением
/
ftf0, —j tm\-
_J=0(tj ~t₀)(tj -tj_\){tj -t_j+l)...(tj-t_m)
™ fit)
= Y— -^J— , (1.38)
felV₀ ,mVj)
где W₀,_m'(tj) — производная функции lV₀,_m(t) = (t - t₀)(t - /,)...(/ - /_m_,)x x(t - t_m), вычисленная при t= tj. Индексы в обозначении функции TV₀,_m(t) указывают номера начального и конечного узлов.
Равенство (1.38) докажем методом индукции. Для разделенной раз­ности первого порядка формула (1.38) совпадает с (1.36), т.е. для т = 1 равенство (1.38) справедливо. Предположим, что равенство (1.38) спра­ведливо для разделенных разностей (т - 1)-го порядка, и убедимся, что из этого предположения следует его верность для разделенных разностей т-го порядка. Для этого найдем разность равенств
f\t t t 1-У Vj *о№)
2 Геометрическое моделирование

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2
fHib 13
«)-£■ ^ р„ 15
... -h 18
+ q,₊i(-^² + w³)(t_hi - h) = a₀(^)p, + «i(^)p,₊i + Po(^)(^₊i - Oq, + 18
г, = 27
<{ 29

f\t\' hi •••> ^ml ~.Л4)> ••■» tm-1] =
lt_m-h)Kh) I ₁ (t_m-t₀)At_m)
W₀,_mVo) M W₀,_m'(tj) W_0tmVJ
₌ d -t )Y
" “ A»'.,„'«,)■
из которого после деления на (t„-t₀) на основании (1.37) следует (1.38).
Из равенства (1.38) видно, что разделенная разность не зависит от порядка, в котором следуют узлы Г₀, ..., в списке аргумен­тов.
Разделенные разности могут быть построены на последовательности с совпадающими узлами. Узлы, значения которых совпадают, называют кратными узлами. Так, если t_[ = t₂ = ... = t_k, то говорят, что узел облада­ет кратностью к. Если разделенная разность первого порядка построена на кратном узле, то она равна производной функции в данной точке