Высшее профессиональное образование

Г(/) = (1 - 0(Р| + (Ро - Р,)(1 - 0) + *(Р| + (Р2 - Р|Ю-

В этом же отношении точкой кривой делится и часть касательной, заключенная внутри контрольной ломаной. Таким обра­зом, Г(5⁰⁾ = ро, Г|^<()) = Р|, г₂^<0) = р₂, точка А име­ет радиус-вектор г₀⁽¹⁾, точка В — радиус- вектор Г)^(1>, точка С — радиус-вектор г^²⁾ = = г (t).
Для кривых, представимых в виде
п
г(?) = £/](/)р,-, определим оператор пра

-вого сдвига Е и оператор левого сдвига L, действие которых описыва­ется формулами
Er{t) = Х/(0р,₊1; LT(t) = P/-I •
1=0 i=1
Операторы сдвига используются для компактной записи алгоритма Де Кастелье. Если действие оператора повторяется /' раз, то будем ис­пользовать степени операторов Е и L, например Е‘ и V. Представим
п
контрольные точки р, в виде кривых р, = Х^/Ру , ^гД^е &i = 1 при / = j . У=О
и 8/ = 0 при i Ф j.
Кривая Безье, построенная по контрольным точкам р„ i = 0, 1,..., п, может быть записана в виде
г(/) = ((1-0 + ^)"Ро ^или г(/) = ((1-0^ + 0"Р_я-
Действительно, ((1 -t) + tE)ⁿр„ = £C'f'(I -t)ⁿ~‘ Е'р₀ = £#/'(?)р,, по-
/=0 „ /=0 скольку Е¹ Ро = Р/. Аналогично, ((1-/)L+ /)'^,р₀ = 'Р,, =
/=0
п
= £ #/'(/)р,, поскольку L" 'р„ = р,.
1=0

5. 
   Кривые Безье и конические сечения
   

Квадратичная кривая Безье
г(0 = (1 - /)²р₀ + 2/(1-OPi + t²Vi (1-21)
является плоской линией и представляет собой полином второй степени параметра. Эллипс, парабола, гипербола записываются в виде функции второй степени координат. Возникает вопрос: можно ли некоторую часть конического сечения описать кривой Безье второй степени?
Пусть /, = а_хх + Ь_ху + с, и /₂ = а^х + Ь^у + с₂, где х и у — координаты некоторой декартовой системы в двумерном пространстве; а_ь Ь_ь с,, а_ъ Ь_ъ с₂ — числа. Тогда равенства /, = 0 и /₂ = 0 будут представлять собой уравнения прямых линий в двумерном пространстве. Пусть /, = 0 и /₂ = 0 уравнения двух не совпадающих прямых линий. Тогда уравнение /,/₂ = 0 будет описывать некоторое коническое сечение на этой плоско­сти. Возьмем еще одну пару прямых линий, описываемых уравнениями /₃ = 0 и /₄ = 0 (/₃ = аух + Ь^у + с₃, /₄ = й₄х + Ь₄у + с₄), пересекающих прямые первой пары, и составим уравнение
(1 -Я.)/,/₂ + W₄ = 0, (1.22)
где X — некоторый параметр. Уравнение (1.22) описывает семейство конических сечений, проходящих через четыре точки пересечения двух пар линий (рис. 1.14).


Рис. 1.14
По мере приближения прямой /₃ к /₄ точка А приближается к точке В, точка С — к точке D, хорды АВ и CD стремятся к касательным ли­ниям конических сечений семейства. Когда прямые линии /₃ и /₄ совпа­дут, уравнение (1.22) примет вид
(1 - Щ/₂ + Я7₃² = 0 (1.23)
и будет представлять семейство конических сечений, касающихся линий /| и /₂ в точках их пересечения с линией /₃ (рис. 1.15).
Если задать еще одну точку R, не совпадающую с точками А и С, то мы определим коническое сечение и параметр к в (1.23). Коническое сечение в данном случае определяется четырьмя точками: А, С, R и точ­кой Е пересечения прямых линий /) и /₂.
Попробуем описать часть конического сечения, лежащую внутри треугольника АЕС, квадратичной кривой Безье, построенной по кон­трольной ломаной с вершинами в точках А, Е и С. Пусть радиусы-век­торы точек А, Е, С равны соответственно р₀, р,, р₂. Введем косоугольную систему координат на плоскости, начало которой лежит в точке р_1# а ко­ординатным базисом являются векторы р₀ - Pi и р₂ - р,. Координаты этой системы обозначим через и и и. В косоугольной системе ии вектор Ро имеет координаты и = 1, и = 0, вектор р, имеет координаты и = 0, и = О, вектор р₂ — координаты и = 0, v = 1. Положение произвольной точки с координатами и и и будет описывать радиус-вектор
г(и, и) = р, + м(р₀ - р,) + tf(p₂ - Pi). (1.24)
В косоугольной системе прямые линии /,, /₂, /₃ описываются уравне­ниями у=0, и = 0, и + и - 1 = 0 соответственно. Подставим их в (1.23) и получим уравнение
(1 - Х)ии + Х(и + и - I)² = 0, (1.25)
которое описывает семейство конических сечений в косоугольной системе координат. Левую часть уравнения (1.25) обозначим через S(u, и).Предположим, что мы выбрали из семейства (1.23) некоторое кони­ческое сечение, т.е. нам известен в (1.23) параметр X. Возьмем некоторую точку г конического сечения внутри треугольника с вершинами в точках р₀, р,, р, (рис. 1.16).
Пусть ее координаты равны 0 < и₀ < 1 и 0 < v₀ < 1. В общем случае можно считать, что коническое сечение описывается функцией (1.24), в которой параметры и v\ v связаны соотношением (1.25). Запишем ра­диус-вектор конического сечения в виде функции одного параметра, в свою очередь являющегося функцией и и и. Для этого нам потребуют­ся касательная к коническому сечению в точке г(и₀, и₀) и точки пересе­чения этой касательной с осями косоугольной системы координат.

Касательная линия к коническому сечению (1.25), записанному в виде S(u, v) = 0, в точке с координатами и = и₀, и = v₀ описывается уравнени­ем

Производные dS/du и dS/dv в точке г(u₀,v₀) с учетом того, что и_п, и₀ удовлетворяют уравнению (1.25), равны