Высшее профессиональное образование



Download 4,46 Mb.
bet7/39
Sana30.04.2022
Hajmi4,46 Mb.
#599667
TuriУчебник
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   39
Bog'liq
word variant (1) (1) (1)

dS
= (l-/^)V0 + /Л(,М0 +v0 - I) = Л.— —
Mn
«0^0
= (1 - Х)щ + 2Ци0 +v0-\) = >,(цо+^о-1)(^о-Цо + 1)
Vq
Таким образом, уравнение касательной к коническому сечению в точ­ке г(м0, с>о) имеет вид
0 - v0 + 10(м - и0) + (ы0 0 + 1 )uq(v - v0) = 0.
Касательная пересекает координатные оси и и v в точка

х

-Ц) + 1 _
и, =U0+ W,
щ-vо + 1 ы0-^о

+

U0-Vq + \
= Vn + V,
0+1 "о-и 0 +

1

что показано на рис. 1.17.








Обозначим отношения длин отрезков, на которые касательная к ко­ническому сечению делит векторы р() - р, и р{ - р2, через
,1.26)
1-м, l-Ug-Vg \-V2 l-Ho-tfo
Точку г(м0, и0) конического сечения можно характеризовать коорди­натами и0, vn, или М|, и2, или отношениями г,, z2- Остановимся на по­следнем способе. Выразим ы0 и и0 через Z\ и z2, используя соотношения (1.26)
«<>=—Zj—— (1-27)
2 + z,+z2 2 + z,+z2
Подставив (1.27) в (1.24), получим зависимость радиуса-вектора ко­нического сечения в виде функции параметров Z\ и z2
г (Z1,Z2)=Z'P0+2I*'+Z2P2. (1.28)
*i +2 + Z2
Параметры zi и z2 связаны соотношением
4 u0v0 _ 4Х
z,z2
(1-и00г 1-Ъ
т.е. произведение Z\Z2 = const для заданного конического сечения. Фак­тически радиус-вектор конического сечения зависит от одного парамет­ра.
Введем параметр / для конического сечения, от которого будут зави­сеть параметры Z\ и z2- Из (1.25) следует
и 0и0 _ I (10>0)2 А.-Г Подставим это равенство в (1.26) и получим
г, =
где w = . ——- — постоянный коэффициент.

  • 4 А,

В качестве параметра t конического сечения примем величину
t = -jJy=, тогда
о +>/« о
z, = —f—); ^2 = (1-29) w\ t J w\\-t)
Подставим последние равенства в (1.28) и получим зависимость ра­диуса-вектора конического сечения (1.24) как функцию одного пара­метра t
1 _ /Л. 1 _ l-Mo-^o _ 1
w = —
^u0v0 y[zizl
называется весом точки p,.
Сравним выражения для радиуса-вектора кривой Безье второй сте­пени (1.21) и для радиуса-вектора конического сечения (1.30). Они сов­падают в случае, когда w = 1, что справедливо для одной из кривых се­мейства конических сечений, которой соответствует X = -1/3. Коническое сечение (1.25) при X = -1/3 описывается уравнением и2 - 2ии + v2 -2и -

  • + 1 = 0 и является параболой. Действительно, если ввести новые переменные х = и - v, у = + 2v - 1, то они будут связаны параболиче­ским уравнением у = х2. Будем рассматривать выражение (1.30) как обобщение квадратичной кривой, позволяющее в частных случаях по­лучить как кривую Безье второй степени, так и коническое сечение.

Теперь можно ответить на поставленный ранее вопрос: кривой Безье второй степени в общем случае нельзя описать часть конического сечения, но его можно описать похожей кривой (1.30). Кривая Безье второй степени также может быть описана как частный случай кривой
(1.30).
Построим с помощью формулы (1.30) дугу окружности радиуса р и уг­лом раствора а, показанную на рис. 1.18. Через р0 и р2 обозначим радиу­сы-векторы крайних точек дуги, а через р, — точку пересечения каса­тельных линий к дуге, построенных в крайних ее точках.
Используя симметрию дуги относительно линии ОС, найдем вес w по формуле (1.31). Из подобия треугольников следует, что
I ВС

  • = Z,=Z2= —

Длина отрезков ВС и А В вычисляется через радиус р и угол раствора дуги а:

ЛВ= p(l-cos(a/2)); ВС = СО - ВО



= Р p = p1~cos(a/2) cos(a/2) cos(a/2)
Тогда





Таким образом, дуга окружности радиу­са р с углом раствора а может быть построе­на как квадратичная кривая (1.30), заданна

яточками р0, р2 и Pi, с весом средней точки w = cos (а/2). Радиус-вектор дуги описывается функцией
= (1 — ^)2Ро + 2/(1 -f)cos(a/2)P| + ?2р2 (\-t)2 + 2t(l-t)cos(a/2) + t2 0 < / < 1,
где точки связаны соотношениями
|Ро ~ Pil = |Рг — Pil = ptg (ct/2);
(Po - Pi) • (P2 - Pi) = IPo - Pil IP2 - Pil |cosa|.
Параметрическая длина дуги равна единице. Формула (1.32) справед­лива в диапазоне углов 0 < а < 2л. На рис. 1.19 и 1.20 приведены дуги окружности с углами 2/Зл и 4/Зл соответственно. Обе дуги имеют одни и те же контрольные точки, но в первом случае вес средней точки равен

  1. 5, а во втором w = -0,5.

Построим с помощью формулы (1.30) четверть эллипса по трем вер­шинам р0, р, и р2 (рис. 1.21). Векторы р0 - Р| и р2 - р, ортогональны. Полуоси эллипса определяются длинами этих векторов: а = |р0 - р,|, й = |р2 — р,|. В косоугольных координатах uuv, приведенных на рис. 1.17, уравнение эллипса имеет вид уравнения окружности: - I)2 + (v - I)2 = = 1, которому в (1.25) соответствует X = -1. В соответствии с (1.31) вес точки р.






т.е. такой же, как и у дуги в четверть окружности.



P2
<{


P

oРассмотрим общий случай построения конического сечения. Пусть известны три вершины контрольной ломаной кривой р0, р(, р2 и четвер­тая точка г, принадлежащая коническому сечению. Точка г должна лежать в одной плоскости с точками р0, ph р2 (рис. 1.22).
Построим коническое сечение в виде (1.30), считая вес вершины р, функцией положения четвертой точки г относительно первых трех:





Косоугольные координаты и0 и0 точки г, через которые вычисляется вес, равны отношениям длин векторов |г - г„|/|р0 - р,| и |г — г„|/|р2 - pj соответственно. Обозначим через 5, — площадь треугольника pip0r, че­рез S2 площадь треугольника р,р2г, через S площадь треугольника P,)PiP2, тогда
и . lr~rJ .k-ru| _ J,
0 IPo-Pil S ' ° IP2-P1I S’
Это следует из соотношений S = 0,5|р0 - р,||р2 - р(| sin ос., 5, = 0,5|р0 -


Download 4,46 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish