Высшее профессиональное образование

dS
= (l-/^)V₀ + /Л(,М₀ +v₀ - I) = Л.— —
Mn
«0^0
= (1 - Х)щ + 2Ци_{0 +}v₀-\) = >,(^цо+^о-1)(^о-Цо + 1)
Vq
Таким образом, уравнение касательной к коническому сечению в точ­ке г(м₀, с>о) имеет вид
(и₀ - v₀ + 1 )у₀(м - и₀) + (ы₀ -и₀ + 1 )uq(v - v₀) = 0.
Касательная пересекает координатные оси и и v в точка

х

-Ц) + 1 _
и, =U₀+ W,
щ-vо + 1 ы₀-^о

+

U₀-Vq + \
= V_n + V,
-«0+1 "о-и 0 +

1

что показано на рис. 1.17.

Обозначим отношения длин отрезков, на которые касательная к ко­ническому сечению делит векторы р₍₎ - р, и р_{ - р₂, через
,1.26)
1-м, l-Ug-Vg \-V₂ l-Ho-tfo
Точку г(м₀, и₀) конического сечения можно характеризовать коорди­натами и₀, v_n, или М|, и₂, или отношениями г,, z₂- Остановимся на по­следнем способе. Выразим ы₀ и и₀ через Z\ и z₂, используя соотношения (1.26)
«<>=—^Zj——• (1-27)
2 + z,+z₂ 2 + z,+z₂
Подставив (1.27) в (1.24), получим зависимость радиуса-вектора ко­нического сечения в виде функции параметров Z\ и z₂
г (Z₁,Z₂)=^Z'^P0+2I*'^+Z2P2. (1.28)
*i +2 + Z₂
Параметры zi и z₂ связаны соотношением
4 u₀v₀ _ 4Х
z,z₂
(1-и₀-и₀г 1-Ъ
т.е. произведение Z\Z₂ = const для заданного конического сечения. Фак­тически радиус-вектор конического сечения зависит от одного парамет­ра.
Введем параметр / для конического сечения, от которого будут зави­сеть параметры Z\ и z₂- Из (1.25) следует
и ₀и₀ _ I (1-м₀-ь>₀)² А.-Г Подставим это равенство в (1.26) и получим
г, =
где w = . ——- — постоянный коэффициент.

• 
  4 А,
  

В качестве параметра t конического сечения примем величину
t = -jJ—y=, тогда
о +>/« о
z, = —f—); ^2 = —(1-29) w\ t J w\\-t)
Подставим последние равенства в (1.28) и получим зависимость ра­диуса-вектора конического сечения (1.24) как функцию одного пара­метра t
1 _ /Л. — 1 _ l-Mo-^o _ 1
w = —
^u₀v₀ y[zizl
называется весом точки p,.
Сравним выражения для радиуса-вектора кривой Безье второй сте­пени (1.21) и для радиуса-вектора конического сечения (1.30). Они сов­падают в случае, когда w = 1, что справедливо для одной из кривых се­мейства конических сечений, которой соответствует X = -1/3. Коническое сечение (1.25) при X = -1/3 описывается уравнением и² - 2ии + v² -2и -

• 
  2и + 1 = 0 и является параболой. Действительно, если ввести новые переменные х = и - v, у = 2и + 2v - 1, то они будут связаны параболиче­ским уравнением у = х². Будем рассматривать выражение (1.30) как обобщение квадратичной кривой, позволяющее в частных случаях по­лучить как кривую Безье второй степени, так и коническое сечение.
  

Теперь можно ответить на поставленный ранее вопрос: кривой Безье второй степени в общем случае нельзя описать часть конического сечения, но его можно описать похожей кривой (1.30). Кривая Безье второй степени также может быть описана как частный случай кривой
(1.30).
Построим с помощью формулы (1.30) дугу окружности радиуса р и уг­лом раствора а, показанную на рис. 1.18. Через р₀ и р₂ обозначим радиу­сы-векторы крайних точек дуги, а через р, — точку пересечения каса­тельных линий к дуге, построенных в крайних ее точках.
Используя симметрию дуги относительно линии ОС, найдем вес w по формуле (1.31). Из подобия треугольников следует, что
I ВС

• 
  = Z,=Z₂= —
  

Длина отрезков ВС и А В вычисляется через радиус р и угол раствора дуги а:

ЛВ= p(l-cos(a/2)); ВС = СО - ВО



= Р p _{= p}¹~^cos(^a/²) cos(a/2) cos(a/2)
Тогда





Таким образом, дуга окружности радиу­са р с углом раствора а может быть построе­на как квадратичная кривая (1.30), заданна

яточками р₀, р₂ и Pi, с весом средней точки w = cos (а/2). Радиус-вектор дуги описывается функцией
₌ (1 — ^)²Ро + 2/(1 -f)cos(a/2)P| + ?²р₂ (\-t)² + 2t(l-t)cos(a/2) + t² ’ 0 < / < 1,
где точки связаны соотношениями
|Ро ~ Pil = |Рг — Pil = ptg (ct/2);
(Po - Pi) • (P2 - Pi) = IPo - Pil IP2 - Pil |cosa|.
Параметрическая длина дуги равна единице. Формула (1.32) справед­лива в диапазоне углов 0 < а < 2л. На рис. 1.19 и 1.20 приведены дуги окружности с углами 2/Зл и 4/Зл соответственно. Обе дуги имеют одни и те же контрольные точки, но в первом случае вес средней точки равен

0. 
   5, а во втором — w = -0,5.
   

Построим с помощью формулы (1.30) четверть эллипса по трем вер­шинам р₀, р, и р₂ (рис. 1.21). Векторы р₀ - Р| и р₂ - р, ортогональны. Полуоси эллипса определяются длинами этих векторов: а = |р₀ - р,|, й = |р₂ — р,|. В косоугольных координатах uuv, приведенных на рис. 1.17, уравнение эллипса имеет вид уравнения окружности: (и - I)² + (v - I)² = = 1, которому в (1.25) соответствует X = -1. В соответствии с (1.31) вес точки р.

т.е. такой же, как и у дуги в четверть окружности.

P2
<{


P

oРассмотрим общий случай построения конического сечения. Пусть известны три вершины контрольной ломаной кривой р₀, р₍, р₂ и четвер­тая точка г, принадлежащая коническому сечению. Точка г должна лежать в одной плоскости с точками р₀, p_h р₂ (рис. 1.22).
Построим коническое сечение в виде (1.30), считая вес вершины р, функцией положения четвертой точки г относительно первых трех:





Косоугольные координаты и₀ и₀ точки г, через которые вычисляется вес, равны отношениям длин векторов |г - г„|/|р₀ - р,| и |г — г„|/|р₂ - pj соответственно. Обозначим через 5, — площадь треугольника pip₀r, че­рез S₂ — площадь треугольника р,р₂г, через S — площадь треугольника P,)PiP₂, тогда
и . l^r~^rJ . ■ k-r_u| _ J,
⁰ IPo-Pil S ' ° IP2-P1I S’
Это следует из соотношений S = 0,5|р₀ - р,||р₂ - р₍| sin ос., 5, = 0,5|р₀ -