Высшее профессиональное образование

w,p.

wr(t) = X NJ'WjPj = X ^Nj'^wjPj^:
7=0

t:

i+m+1 */+1 { ~ ^i-m Arm-1

-——JV? 'wjPj =

y=/-m+l tj+m tj f \ tj+m-t t-tj
— Wy-iPy-i +- V^yPy

= X *
j=i-m+1

m-I

V^y'+m V

j-i-m
t-t,

= х

\tj+m+1 _/+!

J+in ‘y

т m-\

(
,(1)
1.68

)

y
‘y'+m *y
'=/-m+l
где введено обозначение
/,.-г
(
»y-lPy-l +
1) _ v+

m

В равенстве (1.68) использовалось то обстоятельство, что при t_t

• 
  ^?/+i отличны от нуля только N™_m(t), N™_m+l(t), а также
  

равенства N™~^x(t) = 0 и Л^гЧ/) = 0. Мы свели сумму m + 1 слагаемых к сумме m слагаемых и понизили на единицу порядок if-сплайнов в этой сумме. Продолжим упрощение числителя выражения (1.60) аналогичным образом и получи

мivr(t) = Z Nj'WjPj = Z ^N7^wjPj = Z Л^г“‘^г)¹⁾ =
y'=0 j=i-m j=i-m+1
Q
= I A^"²
j=i-m+2
+m-l _r(l) _| ^f~‘j _r(l)
/ _ / ^ ^
\¹ j+m-\ */' *y'+m-l j
= Z Nj'~²rf⁾=...= £ N'j(t)r^>_j^m) = r/^m),
j=i—m+2 j=i-m+m
где введены обозначения г}⁰⁾ = ылр₍. г**’ = ^tj+m+l~^k—f__r(*-¹) ₊ {—0—
7 J J J , t —t
¹ j+m+\-k ¹ j ¹ j+m+\-k ¹ j
xrj*^-1* при изменении А: от 1 до т. Для знаменателя выражения (1.60) получим аналогичное выражение
w(f)^ Nfw_} = X NfiVj = Z Nf-'wf =
У=0 j=i-m j-i-m+l
= Z Nf-²wf=...= Z №j(t)w^^m) =w\^m),
j=i-m+2 j=i-m+m
где введены обозначения м;}^0> = w_h w\^k) = ^ГуЧ"^|+|~*—— и/* г¹* + -—— x
t —t t —t
^lj+m+l-k j ¹ j+m+\-k ¹ j
при изменении А: от 1 до /и.
Мы пришли к выводу, что положение точки 5-кривой (1.60) для за­данного параметра /, < / < /_ы может быть определено по формуле
w(t)
с помощью рекуррентных соотношений
_г (к) _ j+m+1-к №-1) . i - (А-1).
⁷ / -/ ¹“‘ / -/ ^У ’
V+w+l-^ ^fy ^lj+m+l-k ¹ у
₍*₎₌WH_{w (}*.₁₎₊—^
/ — t / — t
¹j+m+l-k j ^fj+m+l-k ¹ j
начиная со значений rj⁰⁾ = WjPj, w}⁰⁾ = Wj. Эти соотношения являются обобщением алгоритма Де Кастелье и называются алгоритмом Де Бура. Приведем алгоритм вычисления радиуса-вектора точки 5-кривой для параметра ?, < г < t_M:

г(0) ■ i-m	г(0) /—/и+1	г(0) i-m+2 *	г(0) ■ • i-2	r(0) ^г/-1	г(0) ^1 /
	r(i) /-Л1+1	Г^(1) /'-m+2 *'	r^(1) • • ^г/-2	-0) ^г/-1	г/^0
		Г^(2) /-m+2 •	Г^(2) ■ ■ /-2	г^(2) ^г/-1	г/^2)

_(т-2) ^г/-2	_(т-2) ^г/-1	_ (/я-2) /
	^г|-1	_(т-1) /
		г(т)

11. 
    Вставка точки и узла ^-кривой
    

Число узлов и контрольных точек 5-кривой можно увеличить, сохра­нив неизменной ее форму и параметрическую длину. Вставим дополни­тельный узел v в последовательность узлов t₀, t_u ..., t_m+n+2, кривой
(1.61).
Пусть значение и удовлетворяет условиям /_min < и < t_mm и не совпада­ет ни с одним из узлов В-кривой т-го порядка. Найдем номер i узла /, из условия tj < v < t_M и построим последовательность узлов и₀ = t₀, v_t = t, Vf = t„ v_M = v, v_i+2 = t_M, v_n+m+i = Г„_+ш+2. Новая кривая должна иметь на единицу больше узлов и контрольных точек. Радиус-вектор новой кривой опишем формулой