Высшее профессиональное образование

П +1
r(r)=X/V;(r)q,.
j=о
В-сплайны новой кривой обозначим подчеркнутыми буквами. В силу значений узлов будут выполняться равенства
= 7V/40, 7 = 0, 1 /- т- 1,
Nj”(f) = Nj.rU), j = i + 1, /’ + 2,
Nf(t)= ^VJ^+m+1~^V I¥”,(/)+ ^V~°^J N"J(t),j=i~m, i-m+l, ..., /.
Vj₊m+2-Vj₊\ Uj_+m+i-Vj ^J
Для ненормированных 5-сплайнов последнее равенство имеет вид
Mf(t)= ^Ui+m+2~^v д/;„(о+----^- му),
Vj+m+2-Vj V_J+m+2-Vj ^J
j = i - m, i - m + 1, /. (1-70)
Равенство (1.70) докажем методом индукции. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что равенство (1.70) для ненормированных 5-сплайнов нулевого порядка выполняется:

1. 
   v_ul -и 1
   

'м-Щ ^Vi+2~V_M

Предположим, что равенство (1.70) справедливо для ненормирован­ных 5-сплайнов (т - 1)-го порядка и убедимся, что из этого предполо­жения следует его верность для ненормированных 5-сплайнов т-то порядка. Для этого подставим в (1.48) равенства (1.70) для A//"f'(/) и и получим

^tj+m+l
t j+m+1 tj
Mj+2 (0 + М. /+1 (0
J_j+i ^J v_J+m+2-u_J+l

^J

<sup>V
/

t-tJ
j+m+i</sup>-^{v v Vj}
\V_J+m+i ~V

j= W' * ^VJ+m+2 ^V..M%|(/) + ^{1 tj Vj+m+l V} (0 +
0+m+l ~tj ^vj+m+2 ~^Vj+l tj+m+\ ~^tj ^vj+m+1 ^_t;y
₊ f_J+m+l-t V-V_{J+11 (/) +} _^fy £z4l_m7"'(0.
tj+m+l ~tj ^Vj+m+2 ~^vj+l tj+m+1 ~*j ^vj+m+1 ^{— y}y
Во втором и третьем слагаемых выполним замену, используя равен­ство
(t-tjHv_J+m+j-v) _| (r_y4m+i-r)(t;-t;_y>|)
^Vj+m+\ ~ ^Vj ^Uj-nn+2 ~ ^Vj+1
_ (Vj₊m₊2-v)(t-U_J+,) (V-Vj)(Pj+_m+\ ~t)
' J
^vj+m+2 ~ ^vj+1 ^y+ffi+l ^—
которое можно проверить непосредственными вычислениями. После замены получим
Mf(t) = .^vJ⁺-^m!²~-.-^и/⁺-^т^г¹. Mⁿ';\{t)+
V_J+m+2-VjV_J+m+2-Vj_+l ^J
₊ V_j+m+г-v t-v_j+l ^J-1_{(?) +}
^uj+m+2 - ^VJ ^vj+m+2 ^{_ v}j+1
₊ ^v~”j £zf^__M-«_We
Vj_+m+2-VjVj_+m+l-Vj ^J V_J+m+2-VjVj_+m+l-Vj ^J
₌ ^vj_+m+2-v M"(_t)+ ^V~^Vj
Vj_+m+2-Vj V_J+m+2-Vj ^J
что и требовалось доказать.
Для новой кривой должно выполняться равенство

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2
fHib 13
«)-£■ ^ р„ 15
... -h 18
+ q,₊i(-^² + w³)(t_hi - h) = a₀(^)p, + «i(^)p,₊i + Po(^)(^₊i - Oq, + 18
г, = 27
<{ 29

через 5-сплайны новой кривой

-
v_i+2-v

Р/-Ш + P i-m+
Nt_m+l(t)₊ ^V N”jt)

• 
  ^Vi+2 - ^vi-m+\ ^VM~ ^vi-m
  

Vj+г-У ^V~^Vi-rn+\
-NS-_m+2«) + , (t)
^Ui+3 ^{- V}i-m+ 2 ^Ui+2 ~ ^Vi-m+

1


K^i+m+2 ^/+1 Vi+m+l


/





/

(0 4/-m₊i -

V

Введем обозначение a, = — для j = / - m + 1, i - m + 2

^J * *

и
+
получим равенства, выражающие контрольные точки новой кривой через контрольные точки р,:

q,= PjJ = о,
О/ = О/Р/ + (1 - a,)Py_i, Q/+I ⁼ Р/5

0. 
   ..., i-m,
   

j = i - т + 1, i - т + 2, .. j = i, i + 2, ..., n

.

Для вставки узла v, t, < и < t_M, в кривую (1.60) в полученных равен­ствах контрольные точки должны быть умножены на свои веса. Веса контрольных точек новой кривой выражаются через веса контрольных точек исходной кривой аналогичными формулами:
wj = w_p j - 0, 1, / - m,
Wj = QLjWj + (1 - CLj)Wj_ 1, j = i-m + 1, /- m + 2,..., /, Wj+\ = Wj, j = /, / + 2, ..., n.
Вставляемый новый узел в последовательность узлов В-кривой может совпадать с имеющимся узлом, например, v = t_r Таким образом, новый узел может быть вставлен несколько раз при условии, что его кратность не превысит порядок 5-кривой.

12. 
    Примеры ^-кривых
    

В качестве примеров построим 5-кривые по п + 1 контрольным точ­кам с целочисленными значениями узлов. Параметризацию с равноот­стоящими значениями узлов называют равномерной.
Пусть первые т + 1 узлов незамкнутой 5-кривой имеют значения, равные нулю: t₀ = /, = ... - t_m = 0; следующие п - т узлов принимаю

т




Рис. 1.32



целочисленные значения от 1 до п - т: t_m+i = /, / = 1, 2, п - т; остав­шиеся т + 1 узлов принимают значение п - т + 1: /_л+1 = t_n+2 = ... = = ^{п+т+1 = п - т + 1. Параметр незамкнутой 5-кривой изменяется в пре­делах от t_m = 0 до t_mt = п - т + 1. На рис. 1.32 приведен набор 5-сплай­нов 3-го порядка, построенных на расширенном множестве узлов О, О, О, О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6 для 9 контрольных точек.

Р2

Рис. 1.34

Построенная по этим точкам 5-кривая и ее контрольная ломаная приведены на рис. 1.33. Как и кривая Безье, 5-кривая не проходит через свои контрольные точки за исключением крайних точек. Параметр t кривой, приведенной на рис. 1.33, принимает значения на отрезке О < 1 < 6.
Пусть узлы циклически замкнутой 5-кривой принимают значения: tj = i - т, i = 0, 1, 2, п + 2т + 1. Параметр замкнутой 5-кривой изме­няется в пределах от 1_т = 0 до t_n+m+i = п + 1. На рис. 1.34 приведен набор 5-сплайнов 3-го порядка, построенных на расширенном множестве уз­лов -3, -2, -1, О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 для 6 контрольных точек. Все 5-сплайны для замкнутой кривой похожи друг на друга.
Построенная по этим точкам циклическаи замкнутая 5-кривая и ее контрольная ломаная приведены на рис. 1.35. Параметр кривой, приве­денной на рис. 1.35, принимает значения на отрезке 0 < / < 6.
На рис. 1.36 по одним и тем же восьми контрольным точкам построе­ны 5-кривые первого, третьего, пятого и седьмого порядка. На рис. 1.36 наблюдаем, что чем выше порядок кривой, тем она более гладкая. 5-кривая первого порядка совпадает с контрольной ломаной.
На рис. 1.37 показано влияние веса контрольной точки р₄ на форму кривой четвертого порядка. Чем больше вес вершины, тем ближе к ней проходит S-кривая.
В общем случае вес вершины может быть нулевым и отрицатель­ным.

т= 1

Рис. 1.36

12. 
    /?-кривые и кривые Безье
    

Покажем, что кривые Безье являются частными случаями if-кривых. Для этого изменим индексацию 5-сплайнов. Ранее 5-сплайну припи­сывался индекс, равный индексу первого узла. С равным правом 5- сплайну можно приписать индекс, равный индексу последнего узла.
Введем определение 5-сплайна, в котором он имеет индекс послед­него узла последовательности, на которой он построен. Построим 5- кривые с помощью таких 5-сплайнов и выведем для них алгоритм Де Бура.
Наряду с (1.44) определим В-сплайн m-то порядка, построенный на неубывающей последовательности узлов t_hm__b равенством
N^mi{t) = (t, - ti__m_,) O_m\tj__m__b ti__m, ..., /,]. ( 1 .71 )
Кроме того, наряду с (1.45) определим ненормированный В-сплайн m-то порядка, построенный на неубывающей последовательности узлов ti-m-Ъ ti-m> t_h равенством
M^m,(t) = ст„, t,__m, /,]. (1.72)
Ранее было отмечено, что 5-сплайн нижним индексом может быть связан с любым узлом последовательности, на которой он построен. В формулах (1.71) и (1.72) индекс /' 5-сплайнов указывает на последний узел последовательности и расположен после индекса т, характеризую­щего порядок 5-сплайна. Из определений следует, что N'JL_m__i(t) = Nf"(Г) и МГ_т-М = MrU) (отличие в положении нижнего индекса).
Большинство свойств 5-сплайнов при определении (1.71) сохраняет­ся, так как разделенная разность не зависит от порядка следования узлов, на которой она построена. Некоторые изменения появятся в рекуррент­ных соотношениях, привязанных к неубывающей последовательности узлов tj__m_[, tj__m, t, которая используется в 5-кривых.
Уменьшим в равенстве (1.47) все индексы на т + 1 и получим
111 т 1 ■ А'-т> •••> ^/1 ⁼
“ ~ ~ ®m-\\ti-mi ti-m+Is "ч ~ ^/-т> ^i-11 *
/ ^— /-W-1 / ~ */-т-1
Запишем последнее равенство с использованием определения (1.72) и получим формулу Кокса—Де Бура для ненормированных 5-сплайнов, связанных с последним узлом последовательностей, на которых они построены:
М^т i(t) = ^t,~^t М(t). (1.73)
^i ~ ti-m-\ ^i ti-m-1
Рекуррентное соотношение (1.73) начинается с ненормированных 5-сплайнов нулевого порядка
tj-tj-x ' ' (1.74)
О, в остальных случаях.
Используя равенство N^m,{t) = (/, - из соотношения (1.73)
получим формулу Кокса—Де Бура для 5-сплайнов, связанных с послед­ним узлом неубывающих последовательностей, на которых они построе­ны:
N^mi(t) = + ^t~^t‘-^w~‘ (1). (1.75)
h ~ h-m
Рекуррентное соотношение (1.75) начинается с 5-сплайнов нулевого порядка
„ Г1, если
№j(t) = {’ ^J ' ^у’ (1.76)
[0, в противном случае.
Используя определение разделенной разности (1.37), получим N^mi(t) = - Ь)а_т[Ь__т__ь Ь__т, t,] =
⁼ [^i-m» h-m+\i •••» ^/1 ^— b h-mi •••» 0*77)
С помощью (1.77) вычислим производную 5-сплайна N^mj(t)\ dN^mt(t) ₌ ^а_т[Г,__т, t_t] ?,__m,...,
dt dt dt
Подставив в последнее выражение производные по t усеченной сте­пенной функции
d<3„
dt
получим
dN^m\t)
~Т ^— m-\\fi-mi ^i-m+\ > •••> m-\\fi-m-1 > ^/-m> ^/-ll ^—
dt

• 
  -mM^m~'i(t) + mM^m~\_!(/) =
  

= — N^m~\{t) + ■N^m-^l,._l(t). (1.78)
h - h-m ⁽i-1 ~ tj-m-l
Аналогично получим формулу для производной ненормированного 5-сплайна A/^m,(f)
dM^m,(t) _тм^т-'лп-м^т-\{1) dt ti~t,-_m-1 '

7+1

-r^(l) • +