Высшее профессиональное образование

Аналитическими кривыми будем называть кривые, координаты которых в некоторой локальной системе координат можно описать с по­мощью аналитических функций, не используя точки, векторы и другие кривые.
Для аналитических кривых используются локальные системы коор­динат, в которых кривые имеют канонический вид.
Построим локальную декартову прямоугольную систему координат с началом в точке р и базисными векторами \_х, i_y, i_r Кривая, координа­ты которой в локальной системе равны соответственно x(t), y(t), z(t), будет описываться векторной функцией
г(0 = Р + *(f)i* + уЩ, + z(t)i_z.
Пусть р, — координаты начала р локальной системы координат, х,- — компоненты базисного вектора ij., .у, — компоненты базисного вектора i_y, Zi — компоненты базисного вектора i_z, / = 1, 2, 3. Тогда аналитическая кривая будет представлять собой функцию
П(¹) Р\ *i Ух Z, x(t) r₂(t) = p₂ + x₂ y₂ Z₂ ■ y(t) 'з(')] [p₃j L*3 Уз Z}\
Координаты кривой (1.5) равны
ф) = р, + х(Г)х, + y(t)y, + z(t)z_r
При изменении положения или ориентации подобным образом опи­санной аналитической кривой изменяются координаты начала местной системы координат и ее базисные векторы, а аналитические функции кривой остаются неизменными, сохраняя канонический вид. Рассмотрим примеры аналитических кривых.Д угу эллипса опишем векторной функцией г (t) = р + ocosri_x + ftsinrij,,
где а и b — полуоси эллипса, 0 < t_mia < 2ж — начальный параметр дуги, /_min < /_П1ах < а + 2л — конечный параметр дуги. Начало р локальной си­стемы координат мы расположили в центре эллипса, базисные векторы i_A. и i_y направили вдоль полуосей. Скалярные функции x(t) = a cos t, y{t) = = b sin t эллипса связаны уравнением
fHib
При области определения параметра /_тах = ?_min + 2л получим эллипс (рис. 1.1). Эллипс является циклически замкнутой кривой.
При /_тах - /_min < 2к получим дугу эллипса, при а = Ь и t_mm = t_min + + 2л — окружность.

Спираль радиусом г, шагом h и параметрической длиной t_mm - /_min опишем векторной функцией

г(t) = р + г cos(t) i_х + г sin(/) l

,

Начало локальной системы координат спирали мы расположили в точке пересечения оси и торцевой плоскости спирали, базисный век­тор i_z направили вдоль оси спирали. При равенстве длин и ортогональ­ности базисных векторов в локальной системе координат получим ци­линдрическую спираль (рис. 1.2).
При h = 0 формула (1.7) будет описывать радиус-вектор окружности или ее дуги в плоскости базисных векторов \_х и \_у.

3. 
   Кривые, построенные по набору точек
   

Рассмотрим построение кривых, которые при значениях параметра /₀, t\, ..., t_n проходят через заданные точки р₀, р_ь р„. Точки р_/5 / = 0, 1, ..., п, называют опорными, или контрольными, точками кривой, а па

­
раметры t_h i = 0, 1, я, — узлами. Узловое значение параметра для каждой последующей опорной точки р_/+, должно быть больше уз­лового значения параметра для предыдущей опорной точки р,: ?, < t_M, i = 0 п - 1. Кри­вые, построенные на множестве равноотстоя­щих узлов, называют однородными. Для од­нородных кривых выполняется равенство: ti - t/_[ = t_M - tj. Кривые, построенные на Рис. 1.3
м ножестве не равноотстоящих узлов, назы­вают неоднородными.
Ломаная линия является простейшей кривой, построенной по на­бору точек. Она состоит из отрезков, последовательно соединяющих заданные точки (рис. 1.3). Радиус-вектор ломаной линии определяется равенством
г(0 = р,(1 - w) + p_Mw, (1.8)
где w = ———, a tj_M, Параметр w будем называть местным пара- t i ■ i ^— ti
метром на участке кривой между точками р, и р,₊₁. Первая производная ломаной линии в контрольных точках р, терпит разрыв по длине и на­правлению. В некоторых случаях значение параметра для точки р, можно принять равным номеру точки: = /.
Ломаная может быть замкнутой, в этом случае первая опорная точка одновременно является и последней. Ломаная обладает рядом полезных свойств: работа с ней требует минимум вычислений, проекция ломаной линии также будет ломаной линией.