Теорема Лагранжа Дифференцирование функций

Теорема Лагранжа

Дифференцирование функций

Средняя и мгновенная скорости скорости изменения функцииГеометрическая интерпретация производной функцииПравила дифференцирования функцийПроизводные степенной, показательной и логарифмической функцийПроизводные тригонометрических функцийГиперболические функции и их свойстваДифференцирование гиперболических функцийДифференциал функцииГеометрическая иллюстрация дифференциаловСвойства дифференциаловТеорема о непрерывности дифференцируемой функцииДифференцирование сложной функцииДифференцирование обратной функцииДифференцирование обратных тригонометрических функцийЛогарифмическое дифференцированиеДифференцирование параметрически заданных функцийДифференцирование неявно заданных функцийТаблица производных элементарных функцийПроизводные высших порядковДифференциалы высших порядковФормула Лейбница
Основные теоремы
Возрастание и убывание функцийТочки экстремумаТеорема ФермаТеорема РолляТеорема ЛагранжаТеорема КошиПравило Лопиталя
Формула Тейлора
Формула Тейлора для многочленовФормула Тейлора для произвольных дифференцируемых функцийФормула Тейлора в терминах дифференциаловОстаточный член в форме КошиОстаточный член в форме ЛагранжаОсновные разложения по формуле Тейлора
Теорема. Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка , что

(13)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке , а на его концах принимает одинаковые значения:

Тогда удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка , в которой производная функции равна нулю:

Следствие 1. В частном случае, когда , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка , в которой производная функции равна нулю: . Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля. 

Следствие 2. Если во всех точках некоторого промежутка , то в этом промежутке. 

Действительно, пусть и – произвольные точки промежутка и . Применяя теорему Лагранжа к промежутку , получим

Однако во всех точках промежутка . Тогда

Учитывая произвольность точек и , получаем требуемое утверждение. 

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа. Разностное отношение в правой части формулы (13) есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки и , а производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в некоторой средней точке промежутка . Поэтому за теоремой Лагранжа закрепилось название “теорема о среднем”.

Рис. 6. Теорема Лагранжа устанавливает условия существования хотя бы одной точки c, в которой касательная к графику функции параллельна секущей AB. Таких точек может быть несколько.

Физическая интерпретацию теоремы Лагранжа. Пусть функция описывает смещение частицы из начального положения в зависимости от времени x ее движения по прямой. Тогда разностное отношение

представляет собой среднюю скорость движения частицы за промежуток времени , а производная – мгновенную скорость движения частицы в момент времени c. Существует такой момент времени, в который мгновенная скорость движения равна средней скорости. 
Отметим, что формула (13) сохраняет свою справедливость и при b < a. Если применить теорему Лагранжа к промежутку и представить значение c в виде

где то формула (13) примет вид

(14)

Равенство (14) дает точное значение для приращения функции при конечном значении приращения аргумента и называется формулой конечных приращений. Единственным недостатком этой замечательной формулы является присутствие в ней неопределенного числа θ.
Теорема Коши

Дифференцирование функций

Средняя и мгновенная скорости скорости изменения функцииГеометрическая интерпретация производной функцииПравила дифференцирования функцийПроизводные степенной, показательной и логарифмической функцийПроизводные тригонометрических функцийГиперболические функции и их свойстваДифференцирование гиперболических функцийДифференциал функцииГеометрическая иллюстрация дифференциаловСвойства дифференциаловТеорема о непрерывности дифференцируемой функцииДифференцирование сложной функцииДифференцирование обратной функцииДифференцирование обратных тригонометрических функцийЛогарифмическое дифференцированиеДифференцирование параметрически заданных функцийДифференцирование неявно заданных функцийТаблица производных элементарных функцийПроизводные высших порядковДифференциалы высших порядковФормула Лейбница
Основные теоремы
Возрастание и убывание функцийТочки экстремумаТеорема ФермаТеорема РолляТеорема ЛагранжаТеорема КошиПравило Лопиталя
Формула Тейлора
Формула Тейлора для многочленовФормула Тейлора для произвольных дифференцируемых функцийФормула Тейлора в терминах дифференциаловОстаточный член в форме КошиОстаточный член в форме ЛагранжаОсновные разложения по формуле Тейлора
Теорема. Пусть функции и непрерывны в замкнутом промежутке ; дифференцируемы в открытом промежутке ; в открытом промежутке . Тогда существует такая точка , что

(15)

Доказательство. Заметим, что . В противном случае – согласно теореме Ролля – производная обратилась бы в нуль в некоторой точке . 
Рассмотрим вспомогательную функцию

которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, в частности, принимает одинаковые значения на концах промежутка :

Тогда существует точка , в которой

что и требовалось доказать. 

Следствие. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при . В свою очередь теорема Ролля представляет собой частный случай теоремы Лагранжа. Таким образом, теорема Коши включает в себя в качестве частных случаев теорему Ролля и теорему Лагранжа.