О математической модели со свободной границей загрязнения водных бассейнов Ж. О. Тахиров, А. Н элмуродов

О математической модели со свободной границей загрязнения водных бассейнов
Ж. О.Тахиров, А.Н Элмуродов


Введение
Увеличение количества чрезвычайных ситуаций, связанных с аварийными разливами нефти и нефтепродуктов, обусловлено ростом добычи нефти, износом основных производственных фондов, участившимися в последнее время. При этом на окружающую среду оказывается существенное негативное воздействие. Экологические последствия при этом носят трудно учитываемый характер, поскольку нефтяное загрязнение нарушает многие естественные циклы и взаимосвязи, существенно изменяет условия обитания всех видов живых организмов и накапливается в биомассе[1, 2, 3].
Нефтепродукты относятся к числу наиболее распространенных и опасных веществ, загрязняющих, в частности, поверхностные воды. Нефть и продукты ее переработки представляют собой чрезвычайно сложную, непостоянную и разнообразную смесь веществ. Они находятся в различных миграционных формах: растворенной, эмульгированной, сорбированной на твердых частицах взвесей и донных отложений, в виде пленки на поверхности. Количественное соотношение в этих формах определяется комплексом факторов, важнейшими из которых являются условия поступления нефтепродуктов в водоем, расстояние от пункта сброса, скорость течения и перемешивания водных масс и другие особенности гидрологического режима водоема, характер и степень его загрязненности, а также состав нефтепродуктов, их растворимость, плотность, вязкость, температура кипения компонентов и прочее. Характер распределения нефтепродуктов и естественных углеводородов по вертикали и акватории водоема весьма сложен и непостоянен. Обычно прибрежные зоны наиболее загрязнены нефтепродуктами и содержат повышенные количества естественных углеводородов в результате поступления со стоком и интенсивного продуцирования в менее глубоких и наиболее прогреваемых участках водоема. Концентрация нефтепродуктов чаще бывает повышена в поверхностном и придонном слоях, хотя возможно и возникновение локальных очагов с повышенным содержанием нефтепродуктов в водной толще.
Рассмотрим случай, когда загрязнителем является нефть. Пуст в момент в области функционирования некоторой экосистемы на границе атмосферы и водоема появляется выброс нефтепродуктов. Нефть, при попадании в водоем, растекается по поверхности воды, образуя огромные нефтяные пятна. Нефтяная пленка нарушает газообмен водоема с атмосферой и ухудшает светопропускание. Часть нефти испаряется. Микроорганизмы используют углеводороды нефти в качестве источника углерода и водорода, многие микробионты способствуют транзиту нефти в грунт.

В настоящее время при математическом моделировании биологических и экологических проблем широко применяются задачи со свободной границей для параболических уравнений и систем параболических уравнений типа реакция - диффузия, которые более адекватно описывают природные процессы [4, 5, 6]. Следовательно, нами предлагается математическая модель со свободными границами выше изложенной экологической проблемы.

Пусть , и концентрации нефтепродуктов в атмосфере, воде и донных отложениях. Задача определения концентрации нефтепродуктов в каждой из трех фаз и неизвестных подвижных границ между фазами сводится к следующей краевой задаче
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Здесь и представляют фронт распространения загрязнения и определяются вместе с концентрациями, , , , , , положительные постоянные, коэффициенты переноса, реакционно-диффузионные члены в уравнениях описывают процессы уменьшения концентрации нефтепродуктов за счет химического и биологического окисления.
Начальные функции удовлетворяют условиям:




Основная цель работы обеспечить уменьшения концентраций и площадь области Это обеспечивается путем установления верхних оценок для концентраций и монотонности свободных границ ( -возрастает, -убывает). Далее доказывается единственность и существования решения задачи.
Некоторые результаты по многофазным задачи со свободной границей для параболических уравнений содержатся в работах [7-10].