О математической модели со свободной границей загрязнения водных бассейнов Ж. О. Тахиров, А. Н элмуродов

Теорема 3. При выполнении условий теоремы 1 решения задачи (1)-(8) единственно.
Доказательство. Теорема доказывается сначала для малого , а затем устанавливается, что она справедлива для любого .
Пусть функции , , , , и
являются решениями задачи (24) и пусть
.
Для каждой группы решений справедливо представление (24).
Рассматривая разность, находим

(25)

где - решения между и , т.е

В силу теоремы 1.




где , , .
Для разности , , получим следующие задачи



где коэффициенты - ограниченные и непрерывные функции.

Из задачи , по принципу максимума находим оценки

Теперь оценим составляющие формулы (25):
,




,
где (i=7,8,…,11) зависит от , .
Пусть . Тогда . Находим

Имеем

(2.1.30)
Далее разделим (2.2.30) на и получим
(2.1.31)
Теперь для функции из (2.2.29) имеем

или



Оценим интегральный член


Рассмотрим вспомогательную задачу



где

Отсюда по принципу максимума

Введем функцию



Находим




Отсюда по принципу максимума


Так как , то

Следовательно,

Так как правая часть (2.1.31) стремится к нулю при , то (2.1.31) не имеет места для достаточно малых и мы придем к противоречию. Следовательно, и далее , , .
Единственность решения задачи для любого устанавливается следующим образом. Пусть . Если , то вопрос будет решен. В противном случае, предполагая, что параметр ограничен и, повторяя выше выполненные выкладки в промежутке , снова придем к противоречию.
Теорема 2.1.6 доказана.