О математической модели со свободной границей загрязнения водных бассейнов Ж. О. Тахиров, А. Н элмуродов

Существования решения
Теорема 3. Пусть выпольнены условия теорем 1 и 2 тогда существует решение , , , , задачи (1)- 8).
Доказательство. Для доказательства существования решения задачи (1)-(8) воспользуемся теоремой Лерэ-Шаудера (см. теорема 1.1.5) с применением установленных априорных оценок. Надо отметить что, полученные априорные оценки позволяют нам воспользоваться результатами линейной теории.
Теорему сформулируем для функции .
Рассмотрим эквивалентную задачу к задаче (16)
(30)
(31)
(32)
Рассмотрим семейство линейных задач
(33)
(34)
(35)
на определение функции ; функция при этом считается заданной, числовой параметр, . Обозначим через , банахово пространство функций на с нормой . Существование решения линейной задачи (33)-(35) следует из теоремы 1.1.4.
При некоторых ограничениях на функции и задача (33)-(35) определяет в оператор , который каждой функции сопоставляет решение линейной задачи (33)-(35):
(36)
Неподвижные точки этого оператора при являются решениями задачи (30)-(32).
Пусть какая-нибудь из неподвижных точек преобразования т.е есть решение уравнения
(37)
с граничными условиями (31), (32).
Уравнение (37) обладает тем свойством, что если для уравнения (30) справедливы условия той или иной теоремы из предыдущих пунктов, в которой получена оценка норм, то эти же условия справедливы и для (36) при
Так что можем предполагать, что равномерная ограниченность в норме всех неподвижных точек преобразования установлена. Теперь докажем, что (36) удовлетворяет условиям принципа Лерэ-Шаудера. Установленные выше априорные оценки гарантируют равномерную ограниченность норм в том пространстве, в котором рассматривается преобразование .
Теперь докажем, что равномерно непрерывна по . Возьмем два близких элемента и из и соответствующие им ,
Отсюда для находим
(38)
где

Решение уравнения (38) удовлетворяет граничным условиям (34), (35).
В силу результатов для линейных уравнений

Вследствие (37) , причем зависит лишь от
В силу (34)-(35) . Очевидно, что
. Применяя к функции теорему 1.1.4, имеем:

Аналогично доказывается равномерная непрерывность по .
Теперь докажем вполне непрерывность оператора . Для с и функции , как решение задачи (33)-(35), имеют равномерно ограниченные нормы В силу равномерной ограниченности и , в силу леммы 3.1.гл. II работы [6] для функций равномерно ограничены нормы ( определяется точно так же, как , но с ), а множество таких компактно в , ибо и, следовательно, операторы , , переводят ограниченные в множества в компактные (см. теорему 1.гл.VI. [6]).
То, что при задача (33)-(35) имеет единственное решение, следует из теоремы 1.
Таким образом, при каждом существует по крайней мере одна неподвижная точка для , которая будет решением задачи (30)-(32) из
Аналогичные результаты справедливы и для .