О математической модели со свободной границей загрязнения водных бассейнов Ж. О. Тахиров, А. Н элмуродов

Априорные оценки

В этом разделе установим некоторые априорные оценки, которые будут применены при доказательстве единственности и глобального существования решения.

Теорема 1. Пусть функции являются решением задачи (1)-(8). Тогда справедливы неравенства
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
где а выражаются через данные и эти постоянные не зависят от .
Доказательство. Чтобы установить оценки (9)-(11) воспользуемся теоремой 5.1 работы [11, гл. II]. Если в указанной теореме взять то например, для функции все условия теоремы выполняются. Тогда по утверждению теоремы

Аналогично

С учетом установленных неравенств, в силу теоремы о знаке производной на граничной точке экстремума имеем [4]

Тогда из (8) находим

Теперь приступаем к доказательству верхних оценок в (12), (13).

В области производя замену

получим задачу
(14)
eсли в задаче (14) взять , то указанные неравенства о неположительности выполняются.
Тогда по принципу максимума [9], в .
Следовательно
или

Точно также в области вводя новую функцию

при
получим задачу

Так как в , то в при
В частности
Следовательно
Тогда или
В силу произвольности имеем

Тогда условия Стефана (8) дает

Теперь перейдем к установлению оценок для .
В области произведя замену

получим задачу

где неравенства обеспечиваются за счет выбора .
Отсюда в .
Следовательно
или

В области введя новую функцию

получим задачу

где неравенства обеспечиваются за счет выбора .
По принципу максимума в при .
В частности

Тогда

В силу произвольности имеем

Далее из (8) заключаем, что

Теорема 2.1 доказана.

Так как установлены первоначальные априорные оценки, то можно использовать известные результаты по нелинейной параболической теории [8, 13]. Здесь основные трудности возникают в связи с трехфазностью рассматриваемой задачи и наличием свободных подвижных границ перехода.

Для каждого уравнения задачи отдельно получим соответствующую задачу в фиксированной области.
Существуют различные метода получения априорных оценок.
Мы применим метод получения априорных оценок предложенной в [13] и следовательно будем придерживаться обозначений, принятых в [13].
В новых переменных и области соответствует область , а задача для функции , примет вид
(15)
где
В новых переменных области соответствует область , а задача для функции , примет вид
(16)
где

В новых переменных области соответствует область , а задача для функции , примет вид
(17)
где
Условия для неизвестных границ примет вид

Для всех уравнений в задачах (15), (16) и (17) выполняются условие параболичности и условие подчинения младших членов (см.[13]), которые позволяют непосредственно применят результаты работы [11, 13].

Теорему сформулируем для функции .