|
y(t)=A sin(cot+(p) (3)
bunda A tebranish amplitudasi, oo - chastota, cp - boshlang‘ich faza. (3) tenglik bilan aniqlangan funktsiya (1) tenglamaning echimi ekanligini tekshirib ko‘rish qiyin emas. Haqiqatan ham, murakkab funktsiyaning hosilasi formulasidan foydalanib quyidagini hosil qilamiz:
y’(t)= Acocos((ot+(p), y”(t)—Aaf sin(at+(p) = -o?y(t)
2 ж
Garmonik tebranish grafigi sinusoida bo‘ladi,uning davri T=— ga teng
CO
bo‘ladi.
Mustahkamlash.
Funksiyalarning hosilalarini hisoblang:
у = sin(2x-l); A) cos2x ; B)cos(2x-l); S) sin2x; D)tg(2x-1); E) 2cos(2x-l).
у = cos(l-x); A) -sin(l-x); B) sin(l-x); S) ctg(l-x); D) -sinx ; E) sinx.
у = tgx; A) — ; B) —l—; S) ; D) —; E) ctgx.
COS X COS X sin X sin X
y = \ctgx\ A) 1 ; B) 3y[ctgx; S) 3ctgx; D)\tgx\ E) - 1 .
3 3sin x 3 3sin x
5.
arctgx cosx ’
A)
cosx
arctgx ’
cosx
B) 7 + sm x • arctgx
1 + x
S)
D)
cosx 1 + x2
1
cos2 x
+ sin x • arctgx
cos x
E)
arcctgx
sin x
у = arcsin(x+l); A) - =;
V 1-(X + 1)2
D)-rJ_; E) Vl-(* + !)’ ■
Vi-G + i)
B) arccos(x+l); S) arctg(x+l);
Darsni yakunlash.
Uyga vazifa: test yechish tematik axborotnomalardan
Tayyorladi:
Tekshirdi: OTIBDO‘ :
20 y.
Sana:
mashs(ulot
Dars mavzusi. Funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlari.
Dars maqsadlari: o‘quvchilarga funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlarini o‘rgatish, ulaming fanga qiziqishlarini oshirish.
Darsning borishi:
Tashkiliy qism.
Funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlari.
Ta’rif: у = f(x) differensiallanuvchi funksiya berilgan bo'lsin. Funksiya hosilasi f (x) bilan argument orttirmasi Ax ning ko'paytmasini funksiya differensiali deyiladi va dy deb belgilanadi: dy=f'(x)Ax. (1)
Agar y=x bo'lsa, u holda dx = x'Ax = Ax tenglik o'rinii bo'ladi, ya'ni erkli o'zgaruv- chining orttirmasi uning differensialiga teng bo'ladi. Shunday qilib, funksiya differensiali uchun dy=f/(x)dx (2) asosiy formulani hosil qilamiz.
Hosiladan funksiyaning turii xossalarini tekshirishda foydalanish mumkin. Jumladan, funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlarini topishda ham hosiladan foydalaniladi.
Biror oraliqda у = f(x) funksiya hosilasining qiymatlari musbat, ya'ni f '(x) > 0 bo'lsin. Demak, shu oraliqda funksiya grafigining har bir nuqtasiga o'tkazilgan urinmaning burchak koeffitsienti tga= f '(x) musbat bo'ladi. Demak, shunday qilib, bu oraliqda funksiya grafigi «ko'tariladi», ya'ni funksiya o'sadi, f '{x)0 da esa funksiya kamayuv- chi bo'lishini ko'rish mumkin. Boshqacha qilib aytganda quyidagi teorema o'rinii.
T e о r e m a. Agar f(x) funksiya biror oraliqda musbat (manfiy) hosilaga ega bo'lsa, u shu oraliqda о 'suvchi (kamayuvchi) bo'ladi.
2
M i s о \.f(x) = x - 9x I5x 15 funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlarini toping. Y e c h i s h. Funksiyaning hosilasini topamiz. f /(x)= 3x2 -18x +15; bu kvadrat
■Л
uchhadni ko'paytuvchilarga ajratamiz: f/(x)= 3(xz - 6x 5) = 3(x - l)(x - 5).
Bundan: a) f '{x)>0, 3(x-l)(x-5)>0 va b) f'{x)< 0; 3(x - l)(x - 5) < 0. Bu tengsizliklami yechib va v = 5 va v = 1 nuqtalarda funksiya uzilishga ega emasligini e'tiborga olsak, funksiya [1; 5] da kamayuvchi, jc e (-oo; 1] va [5; oo) intervalda esa o'suvchi bo'ladi.
E s 1 a t m a. Qaralgan teorema bunday geometrik ma'noga ega: agar biror (a, b) intervalda y=f(x) /unksiya grafigiga o'tkazilgan urinma Ox o'qning musbat yo'nalishi bilan o'tkir burchak hosil qilsa, shu oraliqda funksiya o'suvchi, agar o'tmas burchak hosil qilsa, shu oraliqda funksiya kamayuvchi bo'ladi.
Mustahkamlash. Funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlarini toping:
l)y=x2-x; 2) y=5x2-3x-1; 3)y=x2+2x; 4) y=x2+12x-100.
y=x3-3x; 2) y=x4-2x2.
y=2x3-3x2-36x+40; 2)y=3x3-6x2+9.
y=—*—; 2)y=l + — ; 3) y=-dx-3 ; 4)y=l + 3-dx-5
x + 2 x
Darsni yakunlash.
Uyga vazifa: test yechish tematik axborotnomalardan
Tayyorladi:
Tekshirdi: O’TIBDCk :
20 y.
Sana:
mashg‘ulot
Dars mavzusi. Funksiyani hosila yordamida tekshirish va grafigini yasash.
Dars maqsadlari: о‘quvchilarga funksiyani hosila yordamida tekshirish va grafigini yasashni o‘rgatish, ulaming fanga qiziqishlarini oshirish.
Darsning borishi:
Tashkiliy qism.
Funksiyani hosila yordamida tekshirish va grafigini yasash.
Agar argumentning xt qiymatiga yetarlicha yaqin ixtiyoriy x qiymatlari uchun f(xj)>f(x) tengsizlik bajarilsa (v v/ Ax), Ax yetarlicha kichik son), X! nuqta funksiyaning
maksimum nuqtasi deyiladi; aksincha esa minimum nuqtasi deyiladi. Funksiyaning maksimum va minimumlari uning ekstremumlari yoki ekstremal qiymatlari deyiladi. (Extremal — lotincha chetki degan ma'noni bildiradi.) Funksiya ekstremumi mayjudligining zaruriy sharti quyidagi teoremada ifodalangan.
Teorema (Ferma teoremasi). Differensiallanuvchi
funksiyaning ekstremum nuqtasidagi hosilasi nolga teng:
f'(xi)=0.
Funksiyaning hosilasi nolga teng bo'ladigan nuqtalar
statsionar nuqtajar deyiladi. Funksiyaning hosilasi nolga
teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar uning kritik nuqtalari
deyiladi.
1 -eslatma. f'(x0)=0 shartning bajarilishi x0 nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi bo'lishi uchun yetarii emas.
з 2
M i s о 1. f(x) = x funksiya uchun f'(x) = 3x , f(0) = 0 , lekin x0= 0 nuqta minimum
nuqtasi ham, maksimum nuqtasi ham bo'la olmaydi, chunki v 0 da f(x) < 0, v 0 da
f(x) > 0, demak, xf) 0 nuqtaning/(yj /fro) yoki f(x)>f(x0) tengsizliklardan biri bajarila-
digan atrofi mavjud emas.
eslatma. Funksiya o'zining hosilasi mavjud bo'lmagan yoki cheksizlikka intiladigan
nuqtalarda ekstremumgaega bo'lishi mumkin.
Misollar 1. f(x)=/x-2/ funksiya x=2 nuqtada hosilaga ega
emas (chizmaga qarang).
Lekin x = 2 nuqtada funksiya minimumga ega, chunki bu
nuqtaning har qanday atrofida f(2) < f(x) tengsizlik
bajariladi.
Ekstremum mayjudligining yetarlilik sharti masalasini
funksiyaning birinchi yoki ikkinchi tartibli hosilasidan
foydalanib hal qilish mumkin. Ekstremum mavjudligi
haqidagi teoremani bayon etishdan oldin berilgan nuqtadan
o'tishda funksiya
ishorasini o'zgartiradi, degan tushunchani aniqlashtiramiz. Agar x0 nuqtaga yetarlicha
yaqin bo'lgan X! va x2 nuqtalarda (jy< Xo< x2) E( v/)-Е(л'2)<0 tengsizlik bajarilsa, x = x0
nuqtadan o'tishda funksiya o'z ishorasini o'zgartiradi, deymiz. Agar f(jr7)<0, f(v2)>0
bo'lsa, funksiya o'z ishorasini manfiydan musbatga o'zgartiradi,deymiz.
teorama. Agar x = \{)nuqlada f(x) funksiyaning hosilasi nolga teng bo'lib, x„
nuqtadan о 'tishda o'z ishorasini о 'zgartirsa, x0ekstremum nuqtasi bo 'ladi.
Agar bunda hosilaning ishorasi musbatdan manfiyga о 'zgarsa, x0 maksimum nuqtasi bo 'ladi.
Agar bunda hosilaning ishorasi manfiydanmusbatga o'zgarsa, x„ minimum nuqtasi bo 'ladi.
1 - m i s о 1. /(x) = x - 3x funksiyaning ekstremumlarini toping.
о
Yechish. f(x) = 3x - 3 = 3(x + l)(x - 1) hosila X! = -1; x2 = 1 nuqtalarda nolga teng bo'ladi. x < -1 va f '(x) >0va-l da f '(x) < 0 bo'lgani uchun X! = -1 — maksimum nuqtasi; -11 da f '(x)<0 va x>l da f'(x) > 0 bo'lgani uchun x2 = 1 —
minimum nuqtasi bo'ladi. fmin=f(l)=l^-3«l=-2; fmax=f(-l)=-l+3=2.
T a ' r i f. Agar у = f(x) funksiyaning birinchi tartibli f '(x) hosilasi differensial- lanuvchi junksiya bo'Isa, undan olingan hosilani funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va bunday belgilanadi: У"=(Г(х))'-
teorema. Agar x=x0 nuqtada f(x) funksiyaning birinchi tartibli hosilasi nolga teng bo 'lib, ikkinchi tartibli hosilasi noldan farqli bo'Isa, и holda:
agarf'(x0j 0 bo'Isa, x„— maksimum nuqtasi;
Do'stlaringiz bilan baham: |
