Toshloq tumani

Aniq integralni integrallash usullari
1. 0‘zgaruvchini almashtirish usuli.

Agar y=f(h) fimktsiya [a,b] da uzluksiz bylib h=q>(t) [a,fi] da bir qiymatli va uzluksiz hamda

bodsa, u holda f((p(t)) fimktsiya [a,b] da uzluksiz


bodib


b P
J f(x)dx = J f (.(pit ))((t ))dt


formula o‘rinli bodadi.
2. Aniq integralni bodaklab integrallash.
Agar и va v funktsiyalar [a,b] da differentsiallanuvchi bodsa
b
\udv = uv\^b_a -vdu


formula o‘rinli bodadi.

3. 
   Mustahkamlash.
   

4. 
   misol
   

Ik


2 7






Vx¹ J


3
dx = 4j" x¹dx - б| x ^{3 4 *}dx + 8j" x ⁶dx = 4— \²


1
8jc ⁶ ₂
_I ¹
6


= 4-


f


⁺²(?кЬ^8/


1


1


Ч2 %!\) ⁴ 3





f 1-У2') 28 7 48(1 - лр2)
48- —j=- = Ц=—-
[ ⁶4l J 3 4 p2


3


Jx²^9-xdx nihisoblang


-3


89 48(1 - л/2) _ 89 48(1 - ^2)

12. 
    yp2 12 %[2
    

1. 
   misol.
   

5 48(1 - л/2)
12 ⁶42


Yechish: Bu aniq integralni hisoblash uchun h=3cos(p almashtirish bajaramiz, u holda/2= 3 da cp 71
x = 3 da (3 = 0 ea ^9-x² = ^9 -(3cos(3)² = yj9 — 9 cos² (p = 3 sin cp
dh=-3sin(p dcp bodadi. Demak,
3 0 0
J* jv² л/ 9 — jeabe = j*9cosV • 3sin(z> • (-3)sin(2x/(z> = —8 lj* sin² (z>cos² cpdcp =
-3 71 71


-8ljsin²(z> cos² cpdcp = — j"(2sin(z>cos(Z>)²


81
8


0
j <7(3COS (2*7(3 = ^-(3 lo --^-•-7^Siⁿ4<³


81 1
8 4


81 81 81 . „ 81 . „ _л 81
= —ж 0 sin4;rH sin 4-0 = —ж
4 4 32 32 8


81
4


71
J*sin² 2(pdcp -
0


171
Ю

5. 
   Darsni yakunlash.
   

6. 
   Uyga vazifa: test yechish tematik axborotnomalardan
   

Tayyorladi:
Tekshirdi: O’TIBDCf :


201 y.

Sana:

56. 
    mashs⁽ulot
    

Dars mavzusi. Integralning ba'zi tatbiqlari.
Dars maqsadlari: o‘quvchilarga integralning ba'zi tatbiqlarini o‘rgatish, ulaming fanga qiziqishlarini oshirish.
Darsning borishi:

1. 
   Tashkiliy qism.
   
2. 
   Integralning ba'zi tatbiqlari.
   

1) Faraz qilaylik, f(h) funksiya [a, b\kesmada uzluksiz va musbat funksiya bo‘lsin.
b
U holda mos egri chiziqli trapetsiyaning yuzi S ~ J - F(x) \_a - Fib) F(a) formula


yordamida hisoblanadi.

2. 
   Agar \a, &] kesmada f(h)<0 bo‘lsa, mos egri chiziqning yuzini hisoblash uchun
   

a
S = —J" f (x)dx formula yordamida hisoblanadi.
b

2. 
   Faraz qilaylik f(h) funksiya \a,b\kesmada uzluksiz bo‘lib, musbat va manfiy
   qiymatlami qabul qilsin. Bunda [or,6]kesmani shunday qismlarga bo‘lamizki,
   ularning har birida f(h) funksiya o‘z ishorasini o‘zgartirmasin. So‘ngra bu oraliqlaming
   har birida egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarini yuqoridagi formulalardn mos keluvchi
   biri yordamoda hisoblab, chiqqan natijalami qo‘shamiz:
   

b c b
J / (x)dx +

2. 
   Agar soha yuqoridan y₂ = /₂(X)funksiyz grafigi bilan, chapdan h=a, o‘ngdan =b to‘gri chiziq kesmalari pastdan >, = /,(л') grafigi bilan chegaralangan bo‘lsa, yuza
   

b b b
я = /[ЛМ-/,«]* = /Л (x)dx — j* /, (x)dx formula yordamida hisoblanadi.
a a a

2. 
   Agar jismning О o‘qqa perpendikulyar boMgan ko‘ndalang kesimining S(h) yuzi
   

a
ma’lum bo‘lsa,uning hajmini V = |к(л')б/л' formula yordamida hisoblanadi.
b

2. 
   Agar j ism yuqoridan y=f(h) uzluksiz (a< h< b)funksiy grafigining AB yoyi bilan chegaralangan aABb egri chiziqli trapetsiyani Oh o‘qi atrofida aylantirishdan hosil
   

b
S(x) = 7Tr² =лу² =7tf²(x);V_x =7rjy²dx;
a
qilingan bo‘Isa, uning hajmi _b formula yordamida
V_x =7r\f²(x)dx


hisoblanadi.

2. 
   CcdD egri chiziqli trapetsiyani Oy o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan
   

ь b
jismning hajmi Vy ^=7rj^x ^УУу ^{= 71}J Ф (.УУ^У formula yordamida


hisoblanadi.bu yyerda CD chiziq h=cp(y) c< y< d egri chiziq yoyidan iborat.

2. 
   Agar v(t) to‘gri chiziqli harakat qilayotgan moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi
   

a
tezligi bo‘lsa, u holda A = J v(t)dt; v(t) > 0 moddiy nuqtaning t=a dan t=b gacha
b
vaqt oralig’ida o‘tgan yoMiga teng.

3. 
   Mustahkamlash.
   

1. 
   misol.
   

у = (x + 2)²; y=0 ; h=0 chiziqlar bilan chegaralangan yuzani hisoblang.
Yechish: у = (x + 2)² funksiya grafiga Oh o‘qqa h= -2 nuqtada urinadi.
F(x) = y(x + 2f funksiya f(h) ning boshlang’ich funksiyalaridan biri. Izlanayotgan