Toshloq tumani

yuz: S = f (x + 2)²dx = - ■ (x + 2)³ f° = - • (0 + 2)³ -(-2 + 2)³ = - = 2- kv.birlik.
з ^J-² 3 3 3

2. 
   misol.
   

у = x² -2x va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan yuzani hisoblang.
Yechish: [0;2] kesmada y = x² -2x<0, shuning uchun izlanayotgan yuza
2
S = -J(x² - 2x)dx formula bilan topiladi.


2 ² 1 S = -J" x²dx + 2 • J" xdx =


31 2 ^ 9
= г H—X


o=-^(2³ -0³) + (2² -0²) = -^ ₊ 4 = ^ = l = li


kv.
birlik.

3. 
   misol.
   

Y=sinh funksiyaning [0;2тг] kesmadagi grafigi vaOo‘q bilan chegaralangan yuzani hisoblang. Bu egri chiziqli trapetsiyaning yuzini S_] va S₂ yuzalar yig’indisi ko‘rinishida izlaymiz, hG [О;ж] da sinh >0 ekanligidan
71
= J sin xdx = — cos x q = -cos^ + cosO = -(-1) + 1 = 2. hG[o л-] da sinh<0
о
2 n
ekanligidan $₂⁼~ Jsin xdx ^{= cos} x _ж - cos 2n - cos 7i- \- (-1) = 2 p)_ema]^
71
S=y_i + ^2⁼ 2 + 2 = 4 kv.birlik.

4. 
   Darsni yakunlash.
   
5. 
   Uyga vazifa: test yechish tematik axborotnomalardan
   

Tayyorladi:


Tekshirdi: OTIBDO‘ :


20 y.

Sana:

56. 
    mashs‘ulot
    

Dars mavzusi. 0‘rinlashtirish, o‘rin almashtirish.
Dars maqsadlari: o‘quvchilarga o‘rinlashtirish, o‘rin almashtirishni o‘rgatish, ulaming fanga qiziqishlarini oshirish.
Darsning borishi:

1. 
   Tashkiliy qism.
   
2. 
   0‘rinlashtirish, o‘rin almashtirish.
   

Ta'rif. War qanday narsalardan tuzdgan va bir-biridan shu narsalaming tartibiyoJd о 'zi bilan farq qiluvchi gruppalar (to ‘plamlar) birlashmalar (kombinatorika) deyiladi. Birlashmalarni tashkil etadigan narsalar uning elementlari deyiladi. Ulami a,b,c,... harflari bilan belgilash mumkin. Birlashmalar (kombinatorika) uch hil bo‘Iadi: o‘rinlashtirish, o‘rin almashtirish va gruppalash
a) 0‘rinlashtirish
Ta'rif. m ta elementdan n(n0‘rinlashtirish deb shunday birlashmalarni aytiladiki,ulaming har birida berilgan m ta elementdan n ta element bo‘lib, ular bir- biridan elementlari yoki elementlarining tartibi bilan farq qiladi.
Aⁿ
m ta elementdan tuzilgan n tadan o‘rinlashtirish soni ^л_т simvol bilan belgilanadi. (A fransuzcha «arrahgument» — 0‘rinlashtirish so‘zining bosh harfi) m ta a,b,c,...,k,e
A¹
element berilgan boTsin. Bittadan tuzilgan 0‘rinlashtirishlar soni m ga teng boTib, "A? m ko‘rinishda yoziladi. Ikkita elementdan o‘rinlashtirishlar tuzish uchun a ning yoniga qolgan
A²
(m-1) ta element birlashtiriladi va ^л/» =m(m-l) tenglik o‘rinli boTadi va h. k.
A³_m=m(m-l)(m-2), umumiy holda: Aⁿ_m =m(m-\)(m-2)-[m-(n-V)\ yoki
Aⁿ_m - m(m -1 )(m - 2) • [m + n -1]
Bu m ta elementlardan n tadan o‘rinlashtirishlar sonini topish formulasidir.
Mi s о 11 ar: 1, 2, 3 raqamlari yordamida mumkin boTgan barcha ikki honali sonlami yozaylik: 12, 13, 23, 21, 31, 32. Demak, bu raqamlardan tuzish mumkin boTgan raqamlari turlicha ikki honali sonlar 6 ta ekan. Bunda raqamlari takrorlanib keladigan ikki honali sonlar 11, 22, 33 lami ham qo‘shib hisoblansa, ular 9 ta boMadi. A; takroriy
Aⁿ
0‘rinlashtirishlar soni 9 ga teng bo Tib, umumiy holda = m" ekanligini ko‘rsatish oson.
Takroriy o‘rinlashtirishdan asosan raqamlar bilan ish ko‘rishda foydalaniladi. Masalan, aholini telefon bilan ta'minlash, mashinalarga nomer berish va h. k. Buhoro
shahrida besh honali telefon nomeri (raqami) A³₍₎ =ю⁵ = 100000 ta bo Tib, tahminan
100000 ta telefon bilan ta'minlash imkonini beradi. Toshkent shahrida esa Д⁶о = 10⁶ =1000000 ta telefon 0‘tkazish imkonini beradi.
I z 0 h. Nol bilan boshlanuvchi ATS yo‘qligi sababli tahminan deb aytayapmiz.

1 - m a s а 1 a. Abonent telefon qilayotib, ohirgi raqamni unutib qo‘ydi. U o‘rtog'i bilan gaplashishi zarur deylik. Aytilgan nomerga tushish uchun ко‘pi bilan necha marta terish kerak?

Y e c h i s h. (Istalgan raqamni terib, to‘g'ri tushish ehtimolligi 1/10 ga teng). Kami bilan 1 marta, ко‘pi bilan 10 marta terish kerak.
2- m a s a 1 a. 1-masalani davom ettiraylik. Abonent ohirgi ikki raqamni unutib qo‘ydi, u raqamlar turlicha ekanini biladi deylik.
Yechish. U necha marta terishi kerak? Ko‘pi bilan Д²о = 10-9 = 90 marta teradi. Agar
A 2 О
raqamlari haqida ma'lumot bo‘lmasa, ko‘pi bilan ^л\₍₎ = 10 =100 marta teradi (istalgan ikkita raqamni terib, to‘g'ri tushish ehtimolligi 1/_Шо ga teng).
3 -masala. Sinfda 10 ta fan o‘qitiladi va har kuni 5 hil dars o‘tiladi. Kunlik dars jadvali necha turli usul bilan taqsimlab qo‘yilishi mumkin?
Yechish. A*₀ = 10 - 9- 8- 7- 6 = 30240

3. 
   - m a s a 1 a. Butun sonlaming har biri uchta har hil qiymatli raqam bilan ifoda qiiinadigan bo‘Isa, qancha butun son tuzish mumkin?
   

Yechish. Д³ = 9- 8- 7 = 504
I z о h. Nol qiymatli raqam emasligi e'tiborga olindi.
b) 0‘rin almashtirish
T a' r i f. Faqat eletnentlarining tartibi bilangina farq qiluvchi (ya'ni n = m) о ‘rinlashtirishlar о ‘rin almashtirishlar deyiladi.
m ta elementdan tuzilgan о‘rin almashtirishlar soni P_m bilan belgilanadi (P — fransuzchapermutation — o‘rin almashtirish so‘zining bosh harfi).
Aⁿ
P_m = ^Лт = m ■ (m - !) ■ ■ ■ ■ 2 ■ 1 = m !
(Izoh. m/ birdan m gacha natural sonlar ko‘paytmasi bo‘lib, «em faktorial» deb o‘qiladi). Bu formulani o‘rin almashtirishlar sonini topish formulasi deyiladi.

1. 
   m a s a 1 a. 8 kishini necha hil usulda o‘tqazish (joylashtirish) mumkin?
   

Yechish. P₈ = 12 3 4 5 6 7 8 = 40320.

2. 
   m a s a 1 a. Har hil qiymatli 9 ta raqam bilan nechta to‘qqiz honali son yozish mumkin?
   

Yechish. = 12 3 4 5 6 7 8 9 = 362880.

3. 
   m a s a 1 a. 1, 2, 3,4, 5 raqamlaridan shu raqamlar takrorianmaydigan qilib nechta besh honali son tuzish mumkin?
   

Yechish. P₅ = 1 2 3 4 5 = 120 .

4. 
   masala.1,2,3,4,5 raqamlaridan beshga karrali nechta besh honali (raqamlari takrorianmaydigan) son tuzish mumkin?
   

Yechish. P₄ = 1-2 3 4 = 24 ta o‘rin almashtirishlaming har biriga 5 raqamini yozib qo‘ysak, 5 ga karrali sonlar hosil bo‘ladi. Bunday sonlar P₄=4!=24 ta.


d) Gruppalash

Ta'rif. Gruppalashlar deb m ta elementdan n tadan tuzdgan va bir-biridan eng kamida bitta element bilan farq qiladigan о ‘rinlashtirishlarga aytiladi.

Teorema. m ta elementdan n tadan tuzilgan hamma gruppalashlar soni
C” = — = ———(^{m + n} ^ formula bilan topiladi (C — fransuzcha
P_n n\
combinasion — gruppalash so‘zining bosh harfi).
C"_m ta gruppalashning har birida mumkin boMgan o‘rin almashtirishlarni bajaramiz, ular P_n ta.
Agar P_n o‘rin almashtirishlar sonini C"_m gruppalashlar soniga ko‘paytirsak, A"_m o‘rinlashtirishlar sonini hosil qilamiz:
1 - m a s a 1 a. Hech bir uchtasi bir to⁴g*ri chiziqda yotmaydigan 10 ta nuqtadan nechta to‘g'ri chiziq o‘tkazish mumkin?
Yechish. C,²₀ =^—- = 45 ta.

¹⁰ 2

1. 
   
   2. 
      masala. Biror vazifaga ko‘rsatilgan Ю ta nomzoddan 3 kishi saylanishi kerak. Saylovdagi turb nomzodlik guruhi qancha boMishi mumkin?
      
   
   A³ 10-9-8
   Yechish. C³₀ =^ = -^^ = 10-3-4 = 120 ta.
   P₃ 1-2-3
   
   2. 
      masala. 52 hillik qartadan iborat dastadan 4 tasini necha hil usulda olish mumkin?
      
   
   
   Yechish. C₅⁴₂ =^i =
   Pa
   
   
   At 52-51-50-49
   
   
   1-2-3-4
   
   
   = 270725.
   
   
   Gruppalashning ushbu hossasini osongina isbotlash mumkin: C” =
   Gruppalashning xossalari:
   
   1. 
      hossa С” = C" ”
      
   
   Isbot. (1) formulada n o‘rniga m-n ni qo‘yib hisoblaymiz:
   _Cn ₌ nA m\
   (m - n)\(m - (m - n)) n\-(m-ri)\
   
   2. 
      hossa. c:_₁₊Cⁿ_m_\=Cⁿ_m
      
   3. 
      Mustahkamlash.
      
   1. 
      A³₀;A*;Aj ni hisoblang.
      
   
   ^{5 6} ni hisoblang.
   

m\


n\-(m — ri)\


(1)


misol С⁹¹ = C³
llll^Ul V^₁₀₀ G.₁₀₀


3. A⁴_X -A³₊₁ =~'^Al tenglamani yeching.

4. 
   Darsni yakunlash.
   
5. 
   Uyga vazifa: test yechish tematik axborotnomalardan
   

Tayyorladi:
Tekshirdi: OTIBDO‘ :


20 y.

Sana:

56. 
    mashs⁽ulot
    

Dars mavzusi. Hodisalar, ehtimollikning klassik, geometrik va statistik ta'riflari.
Dars maqsadlari: o‘quvchilarga hodisalar, ehtimollikning klassik, geometrik va statistik ta'riflarini o‘rgatish, ulaming fanga qiziqishlarini oshirish.
Darsning borishi:

1. 
   Tashkiliy qism.
   
2. 
   Hodisalar, ehtimollikning klassik, geometrik va statistik ta'riflari.
   

Ehtimollik nazariyasi romani o‘rganadi? Kishi moddiy dunyoda ro‘y beradigan hodisalami kuzatar ekan, ko‘pincha uni shu hodisalaming ro‘y berish-bermasligi ham qiziqtiradi. Biz hozircha natijasini oldindan aytish mumkin boTgan tabiiy va ishlab chiqarishga oid turli jarayonlar, holatlar va ulaming ro‘y berish qonuniyatlari bilan tanishib keldik. Hayotda esa ro‘y berish-bermasligini oldindan aytib boflmaydigan, ya'ni tasodifan ro‘y beradigan hodisalar, qisqa-cha, tasodifiy hodisalar ham uchraydi. Lotereya o‘yinida yutuq chiqishi, bir maria otilgan o‘qning nishonga tegishi, tayyorlangan buyum sinalganda standartli bo‘lib chiqishi — eng sodda tasodifiy hodisalar. Shu bilan birga amaliyot nuqtai nazaridan alohida olingan hodisalar emas, balki yetarlicha ko‘p sonli, ommaviy harakterga ega hodisalaming umumiy qonuniyatlarini o‘rganish muhimroq. Masalan, korhona uchun bitta-ikkita buyum emas, balki ko‘plab tayyorlangan buyumlardan qanchasi sifatli yoki yaroqsiz boMishini, bir va bir necha umg' emas, balki katta maydonlardagi ekinning qancha qismi unib chiqishini bilish muhim.
Yuqorida ko‘rsatilgani kabi aniq shartlar qo‘yibb, sifatini tekshirishlar, sodir boiish- boimaslikni sinab-hisoblab ko‘rishlar, о‘yin o‘tkazishlar, o‘q otibshi va hokazo qisqacha tajriba o‘tkazildi, sinaldi deyiladi. Tajriba natijasi esa hodisadir. Odatda katta hajmdagi masalalami yechish kerak bo‘Isa, ma'lurn shartlar qo‘yibb, bir hil tajriba, sinashlar o‘tkaziladi va ulaming natijalari o‘rganiladi. Tajribalar soni mumkin qadar ko‘p bo‘lishi kerak. Shu holdagina topilgan natijalaming o‘rtacha qiymati haqiqatga yaqin, ishonchli boiadi.
Uch turkum hodisa ro‘y berishi mumkin: ishonchli, ya'ni ro‘y berishi muqarrar, ro‘y bermaydigan va tasodifly. Tanga bir maria tashlanganda uning bir tomoni bilan tushishi turgan gap, ishonchli, bir vaqtda ham raqamli, ham gerbli tomoni bilan tushishi mumkin boTmagan, ya'ni ro‘y bermaydigan hodisa, qaysi tomoni bilan tushishini esa oldindan aytib bo‘lmaydi, tasodifan gerbli tomoni bilan tushishi mumkin. Raqamli tomoni bilan tushishi ham — tasodifiy. Fizika kursidan ma'lumki, 760 mm sim. ust. atmosfera bosimi va 100 °C temperaturada (bu shart) suv qaynaydi (hodisa). Lekin aslida suvdagi turli aralashmalar ta'sirida ko‘rsatilgan shartlarda qaynash nuqtasining o‘zgarib turishi kuzatiladi.
Matematikaning tasodifiy hodisalami o‘rganadigan boTimi ehtimollik nazariyasi deb ataladi. Bu nazariya yetarlicha ko‘p sonli sinashlar natijasi, ya'ni ommaviy tasodifiy hodisalaming qonuniyatlarini o‘rganish bilan shug'ullanadi.
Ehtimollik nazariyasi alohida soha sifatida XVTI asr o‘rtalarida vujudga kelgan. Uning rivoj topishiga ko‘p olimlaming, jumladan, G.Gyuygens, B.Paskal, Ferma, Yakov Bernulli, Muavr, Laplas, Gauss, Puasson, P.G.Chebishev, A.N.Kolmogorovning ishlari alohida o‘rin tutadi. Uning taraqqiyotiga o‘zbek olimlaridan S.H.Sirojiddinov (1921 — 1988), T. A. Azlarov ham o‘z hissalarini qo‘shgan va qo‘shib kelmoqdalar.
Boshlang'ich tushunchalar.




Biz geometriya kursida asosiy tushunchalar sifatida nuqta, kesma, tekislik olinishini bilamiz. Ular ta'riflanmay qabul qilinadi. Qolgan tushunchalar shu boshlang'ich tushunchalar yordamida ta'riflanadi, so‘ng hossalari o‘rganiladi. Shu kabi ehtimollik nazarivasida elementar hodisa, hodisa va ehtimollik — boshlang'ich tushunchalardir.
Buyum biror shart qo‘yilib bir marta tekshirilganda uning yo yaroqli, yoki yaroqsiz chiqishi, boshqa tur hodisaning ro‘y bermasligi ay on bodsin. Ei - «buyum ya-roqli chiqdi», E₂ — «buyum yaroqsiz chiqdi» belgilashlarini kiritaylik. Ei va E₂ — nazoratda aniqlangan, umuman, shu kabi tajribada ro‘y beradigan ikki eng sodda, ya'ni elementar hodisa, chunki shu tajriba natijasida ulardan ham soddaroq hodisa ro‘y bermaydi, natija E_t va E₂ elementar hodisalar to‘plamidan iborat. Elementar hodisani nuqta, ular-ning to‘plamini sinov shemasi deb ham ataydilar. Sinov shemasini toda-to‘kis aniqlay olish juda muhim, aks holda hisoblashlarda hatoliklarga yod qo‘yilishi mumkin. Shunday qilib, hodisa — elementar hodisalaming biror shart asosida tuzilgan to‘plami. Agar bu to‘plam bir yoki bir necha(faqat hammasi emas) elementar hodisadan iborat bodsa, u tasodifiy hodisa, elementar hodisalaming hammasidan iborat bodsa, u mugarrar hodisa (chunki bu holda elementar hodisalardan kamida bittasi ro‘y bergan b’oladi), birorta ham elementar hodisaga ega bodmasa, u ishonchsiz, mumkin bodmagan, ro‘y bermaydigan hodisa deyiladi. Tasodifiy hodisalarni А, В, C, X, ..., muqarrar hodisani U, mumkin bodmagan hodisani Z harfi bilan belgilaymiz. Tajriba natijasida har bir hodisaning ro‘y berish imkoni qolgan hodisalarniki bilan bir hil va bunday hodisalar soni chekli bodgan holni klassik shema notni bilan ataydilar. Bu holda har bir taso-difiy hodisaning ro‘y berishini sonli baholash mumkin. Bu son shu tasodifiy hodisaning ro‘y berish ehtimolligi deyiladi. Uni P harfi bilan belgilaymiz.

3. 
   Mustahkamlash.
   

ham elementar hodisaga ega bodmasa, u ishonchsiz, mumkin bodmagan, ro‘y bermaydigan hodisa deyiladi. Tasodifiy hodisalarni А, В, C, X, ..., muqarrar hodisani U, mumkin bodmagan hodisani Z harfi bilan belgilaymiz. Tajriba natijasida har bir hodisaning ro‘y berish imkoni qolgan hodisalarniki bilan bir hil va bunday hodisalar soni chekli bodgan holni klassik shema notni bilan ataydilar. Bu holda har bir taso-difiy hodisaning ro‘y berishini sonli baholash mumkin. Bu son shu tasodifiy hodisaning ro‘y berish ehtimolligi deyiladi. Uni P harfi bilan belgilaymiz.
1 - m i s о 1. Simmetrik, ya'ni zichligi tekis taqsimlangan kubchaning yoqlari 1 dan 6
gacha raqamlar bilan ketma-ket belgilangan bodsin. Kubcha bir marta tashlanganda
Ei— «1» raqami bilan tushdi», ..., E₆ — «6» raqami bilan tushdi», jami n = 6
elementar hodisadan faqat biri tasodifan ro‘y beradi. n = 6 — klassik shema nuqtalari
(elementar hodisalar) soni. Nuqtalarning U= {E_x ..., E₆} chekli to‘plamiga ega
bolamiz.

4. 
   Darsni yakunlash.
   
5. 
   Uyga vazifa: takrorlash
   

Tayyorladi:
Tekshirdi: O’TIBDCf :


20 y.

Sana:

56. 
    mashs⁽ulot
    

Dars mavzusi. Masalalar yechish.(oldingi mavzu davomi)
Dars maqsadlari: o‘quvchilarga ehtimollar nazariyasiga oid masalalar yechishni odgatish, ularning fanga qiziqislilarini oshirish.
Darsning borishi:

1. 
   Tashkiliy qism.
   
2. 
   Masalalar yechish.
   

Ehtimollikni bevosita hisoblash.


Tajriba «klassik sxema» shartlari bo‘yicha odkazilayotgan, shu jarayonda ro‘y berishi mumkin bodgan barcha elementar hodisalar soni n ta, shu jumladan biror A hodisa m marta ro‘y beradigan bodsin. U holda A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi ushbu nisbatga teng bodadi:


P(A) = — (1) bunda 0 < n. n

1. 
   - m i s о 1. Kub bir marta tashlanca, u tasodifan faqat bir yog'i bilan tushadi,
   

ikki yog'i bilan emas, ya'ni E_k, к -1; 6 elementar hodisalar juft-jufti bilan birgalikda ro‘y bermaydi: EiHEj=0; i,j = 1; 6, i#j Demak,
U=EiUE2UE₃UE4UE5UE6, ya'ni U to‘plam yo Ei yo E₂ yo E₆ ro‘y berishi
mumkin bodgan jami n = 6 ta teng imkoniyatli elementar hodisalar to‘plamidan iborat. Har qaysi elementar hodisaning ro‘y berish ehtimolligi bir hil:
P® = P(E2)=...= P(^)=l/6.

2. 
   - m i s о 1. 0‘yin kubi bir marta tashlanganda juft yoki toq raqam bilan tushish hodisalari qaraladigan bodsa, В — «juft raqamli tomoni bilan tushdi», C — «toq raqamli tomoni bilan tushdi» hodisalari qaraladi. Ular kubning olti yog'ini todiq o‘z ichiga oladi. Demak, n = 2 ta elementar hodisa ro‘y beradi. Ulaming ro‘y berish imkoniyati bir hil, chunki 1, 2, 3, 4, 5, 6 raqam-larining yarmi toq, yarmi juft. Natijalar to‘plami U= {В, C}; n = 1, 2. Har qaysi hodisaning ro‘y berish ehti-molligi bir hil: P(B) = P(C) = 1/2.
   

3. 
   m i s о 1. Natijada D — «tushgan raqamlar 3 dan kichik yoki 3 ga teng», E — «tushgan raqamlar 4 ga teng yoki undan katta» hodisalari kubning barcha yoqlarini o‘z ichiga oladi. Demak, D va E ham elementar hodisalar, birgalikda U chekli to‘plamni tashkil etadi: U = {D, E}, P(D) = P{E} = 1/2
   

4. 
   - m i s о 1. {E_s, E₆} to‘plam (1-misol) 6 marta odkazilgan sinashlar ketma-ketligi uchun barcha natijalar to‘plami boda olmaydi, chunki bu to‘plamga sinashda ro‘y berishi mumkin boigan E^ E₂; E₃; E₄ natijalar tegishli emas. Ko‘p marta takrorlan-gan sinashlarda har qaysi natija biror son marta takror ro‘y bera boshlashi kuzati-ladi. Bu holat har qaysi natija ehtimolligini sonli ifodalash uchun «odchov birligi» kiritishga imkon beradi. Shu maqsadda qaralayotgan sinashda ro‘y beradigan barcha natijalaming ro‘y berish ehtimol-liklari yig'indisi 1 ga teng, deb olinadi, u holda har qaysi X_k natijaga uning ro‘y berish ehtimolligini ifodalovchi biror nomanfiy P(X_k) =pk(0< r_k< 1, к = 1,... n) son mos keladi. Shaft bo‘yicha: pi+ p₂ +... + Pn=l-
   
5. 
   - m i s о 1. Ikkita tanga tashlansa, ushbu natijalardan biri ro‘y berishi mum-kin: A₂₀ — «Ikkala tanga gerb tomoni bilan tushdi», Аю — «Tangalardan biri gerbli tomoni,
   

ikkinchisi raqamli tomoni bilan tushdi», A₀2— «Ikkala tanga raqamli tomoni bilan tushdi». GG — «Gerb—gerb tushdi», GR — «Gerb—raqam tushdi», RG — «Raqam— gerb tushdi», RR — «Raqam-raqam tushdi» natijalami ham qaraylik. Misol shartlarida GG, GR, RG, RR natijalar bir hil 1/4 ga teng ehtimollikka ega. A₂ о natija GG bilan, A_o2 natija RR bilan bir hil, lekin А_[0 natijaga GR va RG natijalar rhos. Ularning ro‘y berish ehti-molliklari P{A₂₀)=P(A₀₂)=l/4;

Р(Аю) = 1 / 2 , ularning yig'indisi l/4+l/4+l/2=l. Demak, bu hodisalar chekli to‘plamni tashkil etadi.
Hodisalar algebrasi. Agar elementar hodisalar ehtimolliklari ma'lum bo‘Isa, ro‘y berishi mumkin bo‘lgan turli natijalar, ularning birlashmasi va ko‘paytmasi ehtimolligini topish mumkin.
X va Y hodisalarning birlashmasi (yig'indisi) deb, shu hodisalaming kamida bittasiga qulaylik tug'dimvchi barcha natijalardan iborat hodisaga avtiladi, uni XUY orqali belgilaymiz.
X va Y hodisalar kesishmasi (ко ’paytmasi) deb shu hodisalaming ikkalasiga ham bir vaqtda qulaylik tug'dimvchi barcha natijalardan iborat hodisaga avtiladi, uni ХП Y orqali belgilaymiz.

1. 
   misol. A — «qizil shar chiqdi», В — «oq shar chiqdi» hodisalarining birlash-masi (yig'indisi) AUB — «qizil yoki oq shar chiqdi», kesishmasi (ko‘paytmasi) АПВ — «ham oq shar, ham qizil shar chiqdi» hodisalari bo‘ladi. Shu kabi A = (a, b, c, d) va B- (b, d, f} uchun AUB= (a, b, c, d,f} va АПВ= (b, d} bo‘ladi.
   

X va Y hodisalar ayirmasi deb, X hodisaga qulaylik tug'dimvchi, lekin hodisaga qulaylik tug'dirmaydigan barcha natijalardan iborat hodisaga aytiladi va u C=X \ Y orqali belgilanadi. Agar X va Y hodisalar birgalikda ro‘y bermasa, XflY=0 bo‘ladi. Agar n ta hodisadan iborat {X\ ..., X_n} to‘plamda ihtiyoriy ikki hodisabirgalikdaro‘y bermasa, bu hodisalar juft-jufti bilan birgalikda boimaydigan (kesishmaydigan), bog'liqmas deyiladi. Masalan, «komanda yutdi», «komanda yutqazdi», «komanda durang qildi» hodisalari juft-jufti bilan birgalikda ro‘y bermaydi. Juft-jufti bilan birga- likda boimaydigan X_bX₂, ..., X_n hodisalar birlashmasi natijalarning U to‘liq to‘plamini tashkil etsin. Bu holda U to‘plamni Xi ..., X_n hodi-salaming juft-jufti bilan kesishmaydigan qism to‘plamlariga ajratish mumkin. X hodisa ro‘y bermaganidagina ro‘y beradigan
hodisa X ga qarama-qarshi hodisa deyiladi va («X emas») orqali belgilanadi. Masalan, X—«juft sonli ochko tushdi» va X—«toq sonli ochko tushdi» hodisalari qarama-qarshi hodisalardir.
Agar X hodisa uchun qulaylik tug'dimvchi har qanday natija Y hodisa uchun ham qulaylik tug'dirsa, Y hodisa X hodisaning natijasi deyiladi. Masalan, uchta kubcha tashlanganda «juft ochkolar chiqdi» hodisasi 2, 4, 6 raqamli tomonlari bilan tushganligining natijasidir.
Hodisalar yig'indisining ehtimolligi.
1-teorema. Birgalikda ro‘y bermaydigan A va В hodisalar AUB yig'indisining ehtimolligi shu hodisalar ehtimolliklarining yig'indisiga teng:
P(AUB) = P(A)+P(B), bunda АПВ=о (I)
Xulosa. Agar Ai ..., A_n hodisalar juft-jufti bilan birgalikda roy bermasa, shu hodisalar birlashmasining ehtimolligi ulaming ehtimolliklari yig'indisiga teng:
P(A! U...UAn) = P(Aj) +... + Mh). (2)

2. 
   teorema. Наг qanday A hodisa uchun ushbu tenglik o‘rinli: P(A) = 1 -P(A)(3)
   
3. 
   teorema. Itiyoriy ikki hodisa uchun ushbu tenglik o‘rinli:
   

P(AUB) = P(A)+P(B) - Р(АПВ) (4)
3-teoremani uch va undan ortiq hodisa uchun umumlashtirish mumkin:
P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C) - Р(АПВ) - Р(АПС) - Р(ВПС) + Р(АПВПС)
Bog'liqmas hodisalar.
Bogiiqmas tasodifiy hodisalar. Sinashlar ushbu shartlar bilan takror odkazilayotgan bodsin:

1. 
   bir sinash natijasi ikkinchisiga bogiiq emas (erkli), ya'ni sinashda biror A hodisaning ro‘y berish-bermasligi uning boshqa sinashlarda ro‘y bergan- bermaganligiga bogiiq emas;
   
2. 
   har qaysi sinash ikki natijaga ega: A hodisa yo ro‘y beradi,yoki ro‘y bermaydi;
   
3. 
   agar sinashda A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi o‘zgarmas p songa teng bodsa, ro‘y bermaslik ehtimolligi q= 1 -p bodadi.
   

Oldingi misollarda takroriy erkli sinashlar qaralgan edi. Jumladan, nishonga bir necha marta o‘q otish (bunda ikki natijadan biri o‘rinli bodadi — o‘q nishonga tegadi yoki tegmaydi); detallami yaroqb yoki yaroqsizligi bo‘yicha takror nazoratdan odkazish; tanganing ko‘p marta tashlanishi (har tashlashda gerb tomoni bilan tushishi yoki tushmasligi). A va В erkli tasodifiy hodisaning birgalikda ro‘y berish ehtimolligi ulaming har birining ro‘y berish ehtimolliklarining ко 'paytmasiga teng: Р(АПВ)=Р(А)-Р(В) (1) Agar AvaB hodisalar bog'liqmas bodsa, A bilan В , A bilan B, A bilan В hodisalar hani bog'liqmas bodadi va ushbu tenglikka ega bodamiz: P(AUB) = P(A)+ P(B) - P(A)-P(B) (2)
Shartli ehtimollik. A hodisa В hodisa ro‘y bergandagina ro‘y bersin. A hodi-saning В hodisaning ro‘y berishi shartida ro‘y berishini A \ В orqali belgilaymiz.
A \ В hodisa ro‘y berishining ehtimolligi shartli ehtimollik deyiladi va u ushbu formula
bo‘yicha hisoblanadi: 1ЧА \ B) ⁼ (?№№)• (1)
Bemulli formulasi. A hodisaning ehtimolligi r ga teng bodsin. Agar sinash ma'lum shartlar asosida n marta erkli takrorlangan va ulardan m martasida A hodisa ro‘y bergan bodsa, m/n nisbat A hodisaning roy berish chastotasi (takrorlanishi) deyiladi. Kuzatishlar shuni kodsatadiki, agar sinash ko‘p marta takrorlansa chastota n ga bogiiq bodmagan holda p ga yaqinlashadi. Masalan, o‘yin kubi ko‘p marta tashlansa, «3» ochkoning tushish ehtimolligi deyarli 1/6 ga teng bodadi. Umuman, ehtimollik tushunchasi chastotaning barqarorbgi qonuniyatlariga asoslanadi. Bu masala oliy matematika kurslarida batafsil odganiladi.
Umuman, ehtimolligi p ga teng A hodisaning n marta о 'tkazilgan erkli sinashda m marta ro 'y berish ehtimolligi p^m-qⁿ'^m ga teng bo ladi, bunda q = 1 - p.
Teorema. A hodisaning ehtimolligi p ga teng va bu hodisaning n marta takrorlangan erkli sinashda m marta roy berish ehtimolligi P_mn bodsin. Uholda Pnta⁼Cⁿ_m-p^m-qⁿ'^m(l) Bemulli formulasi o‘rinli bodadi.
Geometrik ehtimolliklar. Ehtimollik nazariyasida shunday masalalar uchraydiki, ular hatto mazmunan sodda bodsa-da, ulami yechishda yuqorida keltirilgan mulohazalar va formulalardan foydalanish yo noqulay, yoki uning iloji bodmaydi. Kvadratga tashlangan nuqtaning unga ichki chizilgan doiraga tasodifan tushish ehtimolligini topish bunga oddiy bir misol. Bunday hollarda ba'zan ehtimollikning geometrik ta 'rffi, ya'ni




hodisa ehtimolligini hisoblashning geometrik usulidan foydalanish mumkin. Geometrik ehtimollik quyidagicha ta'riflanadi: biror kesmaga (yuzaga yoki hajmga ega bodgan biror geometrik shakl ichiga) nuqta tasodifan tashlangan. Shu nuqta kesmaning (geometrik shaklning) biror qismiga tushish ehtimoUigi deb, qism uzunligining (yuzining, hajmining) kesma uzunligiga (shakl yuziga, hajmiga) nisbatiga aytiladi. Agar qism bir necha bo‘-lakdan iborat bo‘Isa, bu bodaklar uzunliklarining (yuzlarining, hajmlarining) yig'in-disi olinadi. Geometrik ehtimollik oldingi bandlarda kiritilgan ehtimollikka o‘h- shash. Masalan, 1) nuqtaning berilgan geometrik shakl ichiga tushish ehtimolligi 1 ga teng, uning qismi uchun esa bu ehtimollik 1 dan kichik; 2) agar X va Y qismlar umumiy nuqtalarga ega bodmasa (kesishmasa), P(XUY)=P(X)+P(Y) bodadi. Shuningdek, boshqa tushunchalar, qo‘shish va ko‘pavtirish, toda ehtimollik va Bayes formulalari geometrik ehtimollik uchun ham o‘rinli.

3. 
   Mustahkamlash.
   

Masalalar vechish

1. 
   Ishonchli hodisalarga; 2) mumkin bodmagan (ro‘y bermasligi aniq) hodisalarga; 3) tasodifiy hodisalarga misollar keltiring.
   
2. 
   Qaysi biri ehtimollikroq — yoqlari tartib bilan 1 dan 6 gacha raqamlar bilan belgilangan o‘yin soqqasini (kubchasini) tashlaganda toq sonning tushishimi yoki juft sonnimi? 3dkkita o‘yin kubchasi tashlangan. Nimaning chiqish ehtimolligi kattaroq — ikkalasining ham toq raqamli tarafi bilan tushishimi yoki biri toq, ikkinchisi juft raqam bilan tushishimi?
   

4. 
   Sinash: ikki o‘yin kubchasini 50 marta tashlang va har qaysi tashlashda chiqadigan ochkolami (hollar, raqamlami) yozib boring. Qaysi ochkolar boshqalariga nisbatan ko‘proq, kamroq tushgan?
   

Ikkala kubchaning har safar tushgan ochkolari yig'indisi 4, 0, 12 bodgan hollaridan qaysi biri ko‘proq sodir bodgan?
Bukilmagan tanga 20 marta tashlansa-da, faqat gerbli tomoni bilan tushgan. Keyingi tashlashda raqamli tomoni bilan tushishi ehtimolga yaqinmi yoki gerbli tomoni bilan tushishimi?

3. 
   Darsni yakunlash.
   

4. 
   Uyga vazifa: takrorlash
   

Tayyorladi:
Tekshirdi: O’TIBDO⁴ :


201 y.

Sana:

56. 
    mashs⁽ulot
    

Dars mavzusi. 0‘zbek matematildarining fanga qo‘shgan hissalari haqida qisqacha ma'lumot.
Dars maqsadlari: o‘quvchilarga o‘zbek matematiklarining fanga qo‘shgan hissalari haqida qisqacha ma'lumotlami o‘rgatish, ulaming fanga qiziqishlarini oshirish.
Darsning borishi:

1. 
   Tashkiliy qism.
   
2. 
   0‘zbek matematiklarining fanga qcfshgan hissalari haqida qisqacha ma'lumot.
   

Toshmuhammad Aliyevich Sarimsaqov
(1915-1995 yillar)
Atoqli o‘zbek matematik olimi, jamoat va davlat arbobi, fizika-matematika fanlari doktori, professor, 0‘zbekiston FA akademigi, 0‘zbekistonda hizmat ko‘rsatgan fan arbobi, Beruniy nomidagi respublika mukofoti va davlat mukofoti laureati, Mehnat Qahramoni Toshmuhammad Alievich Sarimsaqov 1915 yil 10 sentyabrda Andijon viloyatining Shahrihon qishlogrida tugrilgan, u Qo‘qondagi maktabda o‘rta maTumot oldi. 1931 yilda SAGU (hozirgi Milliy universitet) ning fizika-matematika fakultetiga o‘qishga kirdi. Uning ilmiy FAOLIYATI universitetini aTo darajada tugatib, mashhura olim V.I.Romanovskiy rahbarligida aspiranturaga kirgandan so‘ng boshlandi. 1938 yildayoq fizika-matematika fanlari nomzodi ilmiy darajasiga sazovor boTdi.
T.A.Sarimsaqovning dastlabki ilmiy ishi klassik ortogonal ko‘phadlari ildiz- larining taqsimotiga bogrishlangan edi. Unda klassik analizning muhim masalala-ridan biriga ehtimollar nazariyasi metodlari tatbiq qilingan. Ulug‘ Vatan urushi yil-larida Toshmuhammad Alievich 0‘rta Osiyo harbiy okrugning ob-havo boshqar-masida harbiy meteorolog boTib hizmat qildi. Ehtimollar nazariyasining ba’zi me-todlarini 0‘rta Osiyoning ob-havo jarayonlarini o‘rganishga tatbiq qilish g‘oyasini ilgari surdi va T.A.Sarimsaqov bu ishni olimlar V.Bugaev, V Djorjio hamkorligida amalga oshirdi. Mamlakatimiz halq ho‘jaligi uchun katta ahamiyatga ega boTgan amaliy tavsiyalar berildi. Matematikaning ehtimollar nazariyasi so‘asida olib bor-gan ilmiy izlanishlari natijasida u 27 yoshida katta muvaffvaqiyat bilan doktorlik dissertatsiyasini himoya qildi. Ustoz olimning ehtimollar nazariyasiga algebraik nuqtai nazardan yondashish g‘oyasi uni hozirgi zamon matematikasining yangi yo‘nalishlaridan biri-yarim maydonlar nazariyasini yaratishga olib keldi. Bu naza-riyaning umumiy topologiya, funktsional analiz masalalariga tatbiqlari katta. Uning yordamida ehtimollar nazariyasining bayon qilinishi muhim ilmiy-metodologik aha-miyatga molikdir. Toshmuhammad Alievichning yarim maydonlar nazariyasi bo‘yi-cha qilgan ilmiy tatqiqoqtlari uning “Bulning topologik algebrasr (M.Antonovskiy va V. Boltyanskiy bilan birgalikda yozilgan) hamda “Topologik yarim maydonlar va ehtimollar nazariyasi” kitoblarida o‘z ifodasini topgan. Olim o‘z atrofiga qobiliyatli yoshlami jalb qilib, mamalkatimizda mashhur boTgan ilmiy maktab-funktsional analiz va topologiyaning Toshkent maktabini yaratdi. Yarim maydonlar nazariya-sining rivojlanishi va uning boshqa sohalarga tatbiqi, ayniqsa, bu nazariyaning kvant ehtimollar nazariyasini asoslashdagi ta’siri salmoqlidir. T.A. Sarimsaqov kvant ehtimollar nazariyasi sohasida dunyoda birinchi boTib ilmiy asar yozishga qoT urdi va “Kvant ehtimollar nazariyasiga kirish” kitobini yozdi.




Iste’dotli pedagog va tashkilotchi sifatida T.A.Sarimsaqov ilmiy kadrlarni tayyorlashga katta e’tibor berdi. 0‘zi bevosita rahbarligida 60 dan ortik fan dok-torlari va nomzodlarini tayyorladi. Fizika-matematika fanlari doktori, professorlar
S.X.Sirojiddinov, S.V.Nagaev, M.Ya. Antonovskiy,J.Xojiev, Sh. A. Ayupov, Ya.X. Qo‘chkorov, R.N.G‘aniho‘jaev, N.N.G‘aniho‘jaev, V.LCHilin kabi taniqli olimlar ustozni shogirtlari hisoblandi. T.Sarimsaqov katta ilmiy va pedagogik FAOLIYATIni jamoat va davlat FAOLIYATI bilan qo‘shib olib borgan. 0‘zbekiston FA tashkil qilingan yili ustoz akademiyaning haqiqiy a’zosi va vitse-prezidenti, keyinchalik prezident qilib saylandi. Ko‘p yillar davomida hozirgi Milliy universitetning rektori, 1960-71 yillarda 0‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta mahsus ta’lim Vaziri boTib ishladi. 1971 yillardan boshlab bir necha yil Osiyo va Afrika birdamligi 0‘zbekiston Qomi-tasining raisi bo‘lgan. T.A.Sarimsaqov 1995 yil 80 yoshida vafot etgan.
Sa’di Hasanovich Sirojiddinov
(1920-1988 yillar)
Atoqli o‘zbek matematik olimi, jamoat va davlat arbobi, fizika-matematika fanlari doktori, professor, 0‘zbekiston FA akademigi, o‘zbekistonda hizmat ko‘r-satgan fan arbobi, Beruniy nomidagi respublika mukofoti laureati, Bemuli nomi-dagi Xalqaro ehtimollar nazariyasi va matematik statistika jamiyatining haqiqiy a’zosi Sa’di Hasanovich Sirojiddinov 1920 yil 10 mayda Qo‘qonda tug‘ilgan. U 1942 yilda SAGU (hozirgi Milliy universitetjni bitirib, armiya safida hizmat qildi. Urushdan keyingi yillarda u 0‘zbekiston FA matematika institutida aspirant va Moskvada V.A.Steklov nomidagi matematika institutining doktoranturasida ta’lim oldi. 1953 yili doktorlik dissertatsiyasini yoqlagandan keyin M.V.Lomonosov nomi-dagi Moskva DU da professor, 0‘zbekiston FA matematika instituti direktori bo Tib ishladi, 0‘n yildan ko‘proq davr maboynida 0‘zbekiston FA Prezidimumi a’zosi, shu akademiyaning vitse-prezidenti, 1966-70 yillarda va 1983-1987 yillarda Toshkent DU (hozirgi Milliy universiteti) rektori boTib ishlagan.
S.H.Sirojiddinov 170 dan ortiq ilmiy asarlar va bir qancha monografiyalaming muallifidir. Uning ilmiy ishlari asosan ehtimollar nazariyasi va matematik statistika-ga, matematik tahlil va o‘rta Osiyoda matematika tarihiga bag‘ishlangan, matema-tik statistikaga bog‘ishlangan ishlari,asosan,ishlab chiqarish mahsulotlarini kontrol qilish metodlariga bog‘ishlangan. Iste’dodli pedagog va tashkilotchi sifatida S.H. Sirojiddinov ilmiy kadrlarni tayyorlashga katta e’tibor bergan. Uning ilmiy rahbarligida 60 dan ziyod fan doktorlari va nomzodlari tayyorlangan. Taniqli fizika-matematika fanlari doktorlari, professorlar S.V.Nagaev, G.P.Matvievskaya, T.A.Azlarov, A.V.Nagaev, G.L.Malevich, Sh.Q.Farmonov, M.O‘.G‘ofurov, B.Abdalimov, A.Ahmedov, M.Mamatov va boshqalar ustozning shogirdlari hisoblanadi.
S.H.Sirojiddinov 1988 yili 29 aprelda 68 yoshida vafot etgan

3. 
   Mustahkamlash. Berilgan ma’lumotlar savollar beriladi.
   
4. 
   Darsni yakunlash.
   
5. 
   Uyga vazifa: takrorlash
   

Tayyorladi:
Tekshirdi: Q’TIBDO‘ :


20 y.