Toshloq tumani

Darsni yakunlash.

Uyga vazifa: test yechish tematik axborotnomalardan

Tayyorladi:


Tekshirdi: O’TIBDCf :


201 y.

Sana:

50. 
    mashs⁽ulot
    

Dars mavzusi. Funksiya orttirmasi. Hosila, uning geometrik va fizik ma'nosi.
Dars maqsadlari: o‘quvchilarga funksiya orttirmasi, hosila, uning geometrik va fizik ma'nosini o‘rgatish, ulaming fanga qiziqishlarini oshirish.


Darsning borishi:

1. 
   Tashkiliy qism.
   
2. 
   Funksiya orttirmasi. Hosila, uning geometrik va fizik ma'nosi.
   

Ta’rif: у = f(x) funksiya x va xi nuqtalarda aniqlangan bo'lsin. xi —x ayirma argumentning xi nuqtadagi orttirmasi, f(xi)-f (x) ayirma esa funksiyaning X/ nuqtadagi orttirmasi deyiladi. Argument orttirmasi Ax, funksiya orttirmasi Af yoki Ay ko'rinishda belgilanadi.
Demak, Ax = xi - x, bundan xi = x + Ax; Af = f(xi)-f (x) f(x + Ax) - f(x).
2
1-misol. у x funksiyaning argument qiymati x dan x Ax ga o'tgandagi orttirmasini toping.
Yechish: f(x) = x^ ; f(x + Ax) = (x + Ax)~*. Demak, Af=f(x + Ax)-f(x) =(x + Ax)^-
_x3= =_x3 ₊ з_х²Дх + 3 . _x . (Ax)^ + (Ax)^ - x^ = 3x²Ax + 3 • x • (Ax)^ + (Ax)^.
Shunday qilib, Af = (Зх + 3xAx + (Ax) ) Ax. Bu formuladan foydalanib x va Ax ning ixtiyoriy berilgan qiymatlari uchun f ning qiymatini hisoblash mumkin.
Masalan, x= 2, Ax = 0,1 bo'lganda Af = f(2,l) - f(2)= =(3 • 2^ + 3 • 2 • 0,1 + 0,1^) 0,1 = 1,261.


2-misol. у


kx+ b chiziqli funksiya uchun к


4v
Ax


tenglik o'rinii bo'lishini


isbotlang.
Isb о t. f(x) = кx + b, f(x Ax) = k(x + Ax) + b;


Af = /(x + Ax) - f(x) = k{x + Ax) + b - {kx b) = Mx.





chizmada keltirilgan.
у = f(x) funksiya x nuqta va uning biror atrofida aniqlangan bo'lsin (nuqtaning atrofi deb shu nuqtani o'z ichiga oluvchi yetariicha kichik radiusli oraliqqa aytiladi). Ax — argumentning shunday orttinnasiki, x+Ax nuqta x




nuqtaning atrofiga tegishli bo'ladi; Af esa funksiyaning shu orttirmaga mos orttirmasi, ya'ni Af f(x + Ax)-f(x) bo'lsin.
Ta’rif: Agar funksiya Af orttirmasining argumentning Ax orttirmasiga bo'lgan nisbatining argument orttirmasi nolga intilgandagi limiti mavjud bo'lsa, У = f(x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Bu limitning qiymati у = f(x) funksiyaning x nuqtadagi hosilasi deyiladi vay = f(x) ko'rinishda belgilanadi. Bu funksiyani у f(x) funksiyaning hosilasi deb ataladi.
Ta'rifga asoslangan holda у = f(x) funksiyaning berilgan x nuqtadagi hosilasini topishning quyidagi tartibini tavsiya qilamiz:

1. 
   Berilgan x qiymat uchun f(x) hisoblanadi.
   
2. 
   Argument x ga Ax orttirma berib, f(x+ Ax) topiladi.
   
3. 
   Funksiyaning A/' f(x Ax) f(x) orttirmasi topiladi.
   
4. 
   — - nisbat tuziladi.
   

Ax

5. 
   - nisbatning Ax—>0 dagi limiti topiladi.
   

Hosilaning fizik ma’nosi. Faraz qilaylik, harakat qilayotgan moddiy nuqtaning harakat qonuni s(t} = f(t), ya’ni vaqtning uzluksiz funksiyasi ko’rinishida berilgan bo'lsin.
Argument t ga At orttirma berib, s(t) funksiyaning At orttirmasmi topamiz. Ma'lumki,
As(t) = s(t + At) - s (ct), bu tenglikdan = ^{slyt +} = v ni olamiz, ya'ni
At A t At
nisbat harakatdagi moddiy nuqtaning [t, t + At] vaqt oralig'idagi o'rtacha tezligini beradi. Hosila ta'rifiga ko'ra: ya'ni harakatdagi moddiy nuqtaning yo'l
tenglamasidan vaqt bo'yicha olingan hosila moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi oniy tezligini beradi.
Shunga o’xshaslyvY/) = a(t), ya'nitezlik tenglamasidan vaqt bo'yicha olingan hosila tezlanishni beradi.
Hosilaning geometrik ma’nosi. Hosilaning geometrik ma'nosi у = f(x) funksiya grafigiga biror M₀(x₀; f(x₀)) nuqtada urinma o'tkazish bilan bog'liqdir.
Tekislikda to'g'ri burchakli Dekart koordinatalari sistemasini olib, у = f(x) funksiya grafigini yasaymiz.

y=f(x} funksiya grafigiga M₀(x₀;/(3c^ nuqtada

o'tkazilgan urinma deb, M„M kesuvchining M nuqta grafik bo'ylab M₀ nuqtaga intilgandagi limit holatiga aytiladi. To'g'ri burchakli M₍,MN uchburchakdan:
tgq> = ^MN ;ig(p = ^^х<] ^; tga = f ⁷(х₀). Shunday qilib, у f(x) funksiyaning x = x₀ nuq-
M₀N Ax
tadagi hosilasi funksiya grafigiga M₀(x₀; f(x₀)) nuqtada o'tkazilgan urinmaning Ox o'qning musbat yo'nalishi bilan hosil qilgan burchagi tangensiga (burchak koef- fitsientiga) teng. Hosilaning geometrik ma'nosi shundan iborat.
Agar tga = f ⁷(x₀) ekanini e'tiborga olib, urinma tenglamasini у = f(x) = k(x -x₀) ko'rinishda izlasak, к = tga ekanidan у = f(x_n)+ f ’(xn)(x-x_n) tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama у = f(x) funksiya grafigiga M₀(x₀; f(x₀)) nuqtada o'tkazilgan urinma tenglamasi deb ataladi.
Ta’rif: Agar funksiya biror intervalning har bir nuqtasida hosilaga ega bo'lsa, u shu intervalda differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Agar interval yopiq bo'lsa, uning chegaralarida bir tomonii hosilalarning mavjud bo'lishi nazarda tutiladi. c'=0 ya'ni har qanday o'zgarmas sonning hosilasi nolga teng.
Ta’rif: Hosilani topish amalini differensiallash deyiladi. Differensiallashning asosiy qoidalari yig'indi (ayirma), ko'paytma va bo'linmaning hosilalarini qanday topish kerakligini ko'rsatadi. Agar и = u(x), v=v (x) differensiallanuvchi funksiyalar bo'lsa, u holda ulaming yig'indisi (ayirmasi), ko'paytmasi va bo'linmasining hosilalari mavjud bo'lib, ular quyidagi formulalar yordamida topiladi:
(u + v)'= и + v; (u - v)'= u'- v'; (uv)' = u'v + uV, = ^uv
Agar и = u(x) differensiallanuvchi funksiya bo'lib, c- o'zgarmas son bo'lsa, u holda (cuf = cu'. Bu formuladan o'zgarmas ko'paytuvchini hosila belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, degan xulosaga kelinadi.
O'zaro teskari bo'lgan у = f(x) Ba x = cp(y) funksiyalarni qaraymiz. Shunday
qilib, o'zaro teskari funksiyalarning hosilalari О =\ yoki y'_x=\ (V^o)