Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari


Funksiya ekstremumi tushunchalari funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib,  nuqtaning atrofi shu to‘plamga tegishli bo‘lsin: . Endi berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymati ni (bu tayin son) funksiyaning nuqta atrofidagi nuqtalardagi qiymatlari (bular sonlar bo‘ladi) bilan solishtiramiz.
Agar ixtiyoriy uchun

bo‘lsa, funksiya nuqtada maksimumga ega bo‘ladi deyiladi. Bunda maksimum qiymat beradigan nuqta, songa esa funksiyaning maksimum qiymati deyiladi va

kabi belgilanadi.
Agar ixtiyoriy uchun

bo‘lsa, funksiya nuqtada minimumga ega bo‘ladi deyiladi. Bunda  minimum qiymat beradigan nuqta, songa esa funksiyaning minimum qiymati deyiladi va

kabi belgilanadi.
Funksiyaning maksimumi hamda minimumi umumiy nom bilan uning ekstremumi deyiladi.
Ma’lumki, ushbu

ayirma funksiyaning to‘la orttirmasi deyiladi. Demak, nuqtaning atrofidagi nuqtalar uchun

bo‘lsa,  funksiya nuqtada maksimumga,

bo‘lsa, funksiya nuqtada minimumga erishadi.


2. Funksiya ekstremumga erishishining zaruriy sharti


funksiyani nuqtaning atrofida qaraymiz.
1-teorema. Agar funksiya nuqtada ekstremumga erishishsa va shu nuqtada xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya nuqtada minimumga erishishsin. U holda nuqtaning atrofidagi nuqtalarda

tengsizlik bajariladi. Jumladan

bo‘ladi. Ravshanki, funksiya bitta o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘ladi. Keyingi tengsizlik esa bu funksiyaning nuqtada minimumga erishishini bildiradi. Teoremaning shartiga ko‘ra u nuqtada hosilaga ham ega. Unda bir o‘zgaruvchili funksiya ekstremumga erishishining zaruriy shartiga ko‘ra

bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash

bo‘lishi isbotlanadi.


Eslatma. Agar funksiya biror nuqtada xususiy hosilalarga ega bo‘lib, shu nuqtada

bo‘lishidan berilgan funksiyaning shu nuqtada ekstremumga erishishi har doim kelib chiqavermaydi.
Masalan,

funksiya uchun bo‘lib, nuqtada , bo‘ladi. Biroq bu funksiya nuqtada ekstremumga erishishmaydi.
1-teorema funksiya ekstremumga erishishining zaruriy shartini ifodalaydi.


Funksiya ekstremumga erishishining yetarli sharti


funksiya nuqtaning atrofida berilgan bo‘lib, u quyidagi shartlarni bajarsin:
1) funksiya da uzluksiz va uzluksiz , , , , xususiy hosilalarga ega;
2) nuqtada , xususiy hosilalar nolga teng:

Endi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilalarining nuqtadagi qiymatlarini quyidagicha

belgilab, ushbu

ayirmani hosil qilamiz.
Agar
1) bo‘lib, bo‘lsa, funksiya nuqtada minimumga erishadi;
2) bo‘lib, bo‘lsa, funksiya nuqtada maksimumga erishadi;
3) bo‘lsa, funksiyaning nuqtada ekstremumi mavjud bo‘lmaydi;
4) bo‘lsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishishi ham mumkin, ekstremumga erishishmasligi ham mumkin.


Misol. Ushbu

funksiya ekstremumga tekshirilsin.
Avvalo berilgan funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz:

Bu hosilalarni nolga tenglab quyidagi sistemani yechamiz: Demak, nuqtada berilgan funksiyaning xususiy hosilalari nolga teng bo‘ladi:

Endi berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilalarini hisoblab, larni topamiz:


Demak, bo‘lib,

bo‘ladi.
va bo‘lgani uchun berilgan funksiya nuqtada minimumga erishadi.