Sonli va funksional ketma-ketliklar. Ketma-ketlikning limiti, uzluksizligi, uzulish turlari

1.2-ta’rif. Agar shunday o’zgarmas son mavjud bo’lib, ketma – ketlikning har bir hadi shu sondan katta bo’lmasa, ya’ni uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, ketma - ketlik yuqoridan chegaralangan deb ataladi. Masalan, ketma – ketliklar yuqoridan chegaralangan, chunki, birinchi ketma-ketlikning har bir hadi dan, ikkinchi ketma-ketlikning har bir hadi esa dan katta emas, ya’ni uchun uchun
1.3-ta’rif. Agar shunday o’zgarmas son mavjud bo’lib, ketma – ketlikning har bir hadi shu sondan kichik bo’lmasa, ya’ni uchun tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.
Masalan, ketma-ketliklar quyidan chegaralangan, chunki, birinchi ketma-ketlikning har bir hadi dan, ikkinchi ketma-ketlikning har bir hadi esa dan kichik emas.
1.4-ta’rif. Agar ketma-ketlik ham quyidan, ham yuqoridan chegaralangan bo’lsa, ya’ni shunday va o’zgarmas sonlar mavjud bo’lib, uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.
Masalan, ketma-ketliklar chegaralangan ketma- ketliklardir.
1.1-teorema. ketma-ketlik chegaralangan bo’lishi uchun, shunday son mavjud bo’lib, uchun
(1.4)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Odatda (1.4) shart ketma-ketlikning chegaralanganlik sharti deb ham yuritiladi.
1.5- ta’rif. Agar ixtiyoriy (istalgancha katta) son olinganda ham, ketma-ketlikning hech bo’lmaganda bitta elementi topilib,
(1.5)
tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik chegaralanmagan ketma-ketlik deyiladi.
Masalan, ketma-ketlik chegaralanmagan bo’ladi, chunki ixtiyoriy musbat haqiqiy sonni qanday qilib olmaylik, ketma- ketlikning juft nomerdagi elementlari ichidan dan kata bo’lgani, ya’ni (1.5) tengsizlikni qanoatlantiruvchisi topiladi.