Sonli va funksional ketma-ketliklar. Ketma-ketlikning limiti, uzluksizligi, uzulish turlari

1.2- misol. bo’lganda ekanligini isbotlang.
Yechilishi. Shartga ko’ra, bo’lgani uchun bo’ladi. chunki, uchun tengsizlik o’rinli. Bundan

Demak, yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning 5-xossasiga ko’ra, bo’ladi.
1. 1. Monoton ketma-ketlikning ta’riflari. -ketma-ketlik berilgan bo’lsin.
1.15- ta’rif. Agar ketma-ketlikning elementlari uchun tengsizlikni qanoatlantirsa, o’suvchi (qat’iy o’suvchi) ketma-ketlik deyiladi.
1.16- ta’rif. Agar ketma-ketlikning elementlari uchun tengsizlikni qanoatlantirsa, kamayuvchi (qat’iy kamayuvchi) ketma-ketlik deyiladi.
1.17- ta’rif. O’suvchi va kamayuvchi ketma-ketliklar umumiy nom bilan monoton ketma-ketlik deb ataladi.
Monoton ketma-ketlik bir tomonlama (yuqoridan yoki quyidan) chegaralangan bo’ladi. Masalan, o’suvchi ketma-ketlik quyidan chegaralangan (quyi chegarasi sifatida uning birinchi hadini olish mumkin) bo’ladi, kamayuvchi ketma-ketlik esa, yuqoridan chegaralangan (yuqori chegarasi sifatida ham uning birinchi hadini olish mumkin) bo’ladi. Bu mulohazalardan ko’rinadiki, yuqoridan chegaralangan o’suvchi ketma-ketlik chegaralangan bo’ladi, quyidan chegaralangan kamayuvchi ketma-ketlik ham chegaralangan bo’ladi.
Masalan: 1) ketma-ketlik o’suvchi ketma-ketlik bo’lib, u quyidan 1 bilan chegaralangan;
2) ketma-ketlik qat’iy o’suvchi va u quyidan bilan chegaralangan;
3) ketma-ketlik kamayuvchi ketma-ketlik bo’lib, u yuqoridan bilan, quyidan nol bilan chegaralangan, ya’ni u chegaralangan ketma-ketlik bo’ladi;
4) ketma-ketlik qat’iy kamayuvchi ketma-ketlik bo’lib, u chegaralangan bo’ladi.
1.6. Monoton ketma-ketlikning yaqinlashishi haqidagi teoremalar.
1.2- teorema. Agar ketma-ketlik o’suvchi bo’lib, yuqoridan chegaralangan bo’lsa, u yaqinlashuvchi (chekli limitga ega) bo’ladi; agar ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan bo’lsa, u holda u uzoqlashuvchi (limiti ) bo’ladi.