Sonli va funksional ketma-ketliklar. Ketma-ketlikning limiti, uzluksizligi, uzulish turlari

Yangi dars mavzusining bayoni (55 daqiqa): (matn keltiriladi, matnda asosiy materialdan tashqari, avvalgi mavzularda o’rganilgan tushunchalar, tasdiqlar hamda mashhur olimlar haqida ma’lumotlarni o’zida mujassam qilgan glossariy ham keltiriladi va ma’ruzaning elektron variantida giperssilkalar yordamida ularning ekranda ko’rsatilishi ta’minlanadi).
Mavzuning asosiy mazmuni–ma’ruza muloqot uslubi vositasida talabalarga yetkaziladi.
1.1. Nuqtaning atrofi. Bizga , hamda ixtiyoriy musbat yetarli kichik >0 va sonlar berilgan bo’lsin.
1.1-ta’rif. Quyidagi to’plam, nuqtaning atrofi deyiladi, - son esa atrofning radiusi deyiladi (1.1-chizma).
Ushbu

to’plam, nuqtaning o’ng atrofi va chap atrofi deyiladi (1.2-chizma).
Ushbu tengsizlik, , tengcizliklarga teng- kuchli bo’lib, ularning har ikkalasini a nuqtaning atrofi shaklida ifodalash mumkin:
=
Ba’zi hollarda, atrof, nuqtaning teshik atrofi deb ham yuritiladi.
Haqiqiy sonlar to’plami tarkibiga va simvollarni   uchun va xususiyat bilan qo’shib, to’plamni hosil qilamiz:
.
da va «nuqta» larning atrofi tushunchalari quyidagicha kiritiladi (1.3-hizma):





, ,
.
1.2. Natural argumentli funksiya va uning limiti. va to’plamlar berilgan bo’lib, – har bir natural songa biror haqiqiy sonni mos qo’yuvchi qoida yoki usul bo’lsin: . Bu holda to’plamda natural argumentli funksiya aniqlangan deyiladi va kabi belgilanadi.
Agar funksiya berilgan bo’lsa, u holda uning argumenti, yoki indeksini o’zgaruvchi mos qiymatining nomeri deb qarash mumkin. Shunday qilib, – funksiyaning birinchi qiymati, – ikkinchi qiymati, – uchinchi qiymati va h.k. Biz har doim qiymatlar to’plami ni natural ketma-ketlikka o’xshash nomerlarning ortishi bo’yicha tartiblangan, ya’ni
(1.1)
sonlar ketma-ketligi shaklida tasavvur qilamiz. (1.1) ketma – ketlik qisqacha kabi belgilanadi. Ketma-ketlikning qiymatlar to’plami chekli yoki cheksiz bo’lishi mumkin, lekin shunday bo’lsa-da ketma – ketlikning elementlari har doim cheksiz ko’p bo’ladi.
Biz bundan keyin, qulaylik uchun, natural argumentli funksiyani sonli ketma-ketlik deb qaraymiz. Masalan, agar funksiya

formulalardan birortasi bilan berilgan bo’lsa, ularga mos ketma-ketliklar quyidagi shaklda bo’ladi:

va hokazo.
Yuqoridagi keltirilgan misollardan ko’rinadiki, ba’zi ketma- ketliklarning umumiy hadlari aniq formulalar orqali ifodalanib, ularning hamma hadlari shu formulalar orqali topilsa, ba’zi ketma- ketlikning hadlarini ma’lum bir qoidalar yordamida topish mumkin, Ba’zi hollarda ketma-ketliklarning berilishi, uning hadlarining nomini aytish bilan amalga oshiriladi.
Masalan, 1)- 5)- misollarda ketma-ketlikning umumiy hadi aniq formula orqali ifodalangan, 6) misolda ketma-ketlikning dastlabki va hadlari berilgan holda, qolgan hadlarini rekurrent formula orqali topiladi. 6)- misolda ketma-ketlik rekurrent formula orqali topilgan sonlar Fibonachchi sonlari deyiladi. 7) misolda ketma-ketlikning umumiy hadi so’zlar orqali ifoda qilingan.
(1.2)
(1.3)
ketma-ketliklar berilgan bo’lsin. (1.2) va (1.3) ketma-ketliklarning yig’indisi (ayirmasi), ko’paytmasi, bo’linmasi (nisbati) deb, mos ravishda


ketma-ketliklarga aytiladi va ular mos ravishda kabi belgilanadi. (1.2) va (1.3) ketma-ketliklar nisbatining ta’rifida uchun deb faraz qilinadi. Agar ketma-ketlikning chekli sondagi elementlari nolga teng bo’lsa, u holda ketma-ketlikni, ning nolga teng bo’lmagan hadlaridan boshlab aniqlash kerak bo’ladi.
Endi ketma-ketlikning chegaralanganligi tushunchalari bilan tanishamiz.