Sonli va funksional ketma-ketliklar. Ketma-ketlikning limiti, uzluksizligi, uzulish turlari

1.3- teorema. Agar ketma-ketlik kamayuvchi bo’lib, quyidan chegaralangan bo’lsa, u yaqinlashuvchi (chekli limitga ega) bo’ladi; agar ketma-ketlik quyidan chegaralanmagan bo’lsa, u holda u uzoqlashuvchi (limiti ) bo’ladi.
Bu teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1- natija. O’suvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning yuqoridan chegaralangan bo’lishi zarur va yetarli.
2- natija. Kamayuvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning quyidan chegaralangan bo’lishi zarur va yetarli.
Yuqoridagi teoremalarni birlashtirib, uni quyidagicha ham ifoda qilish mumkin.
1.4- teorema. Monoton ketma-ketlik yaqinlashuvchi (chekli limitga ega) bo’lishi uchun uning chegaralangan bo’lishi zarur va yetarli.
1- eslatma. Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik monoton ketma-ketlik bo’lavermaydi. Masalan, ketma-ketlik monoton emas.
2- eslatma. Yuqoridagi teoremalardan quyidagi xulosani chiqarish mumkin. Yuqoridan chegaralangan o’suvchi ketma-ketlikning hamma hadlari uning limiti dan katta bo’la olmaydi. Xuddi shunday, quyidan chegaralangan kamayuvchi ketma-ketlikning hamma hadlari uning limiti dan kichik bo’la olmaydi.
1.5- teorema. Ikkita va ketma-ketliklar berilgan bo’lsin. Agar: 1) o’suvchi, kamayuvchi ketma-ketlik; 2) uchun ; 3) bo’lsa, va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi va tenglik o’rinli bo’ladi. Bu teoremadan natija sifatida, quyidagi muhim, ichma-ich joylashgan segmentlar haqidagi teorema kelib chiqadi.
1.6- teorema. Agar munosabatda bo’lgan, segmentlar ketma-ketligi uchun shart o’rinli bo’lsa, u holda va ketma-ketliklar bitta limitga ega bo’ladi, hamda bu limit barcha segmentlarga tegishli bo’lgan yagona nuqta bo’ladi.
1.3- misol. Ushbu
( -ixtiyoriy haqiqiy son) (*)
tenglikni isbotlang.