И здан и е второе, стереотипное

З а д а ч а Дирихле для квазилинейного уравнения
П
dF (х, г, Dz, D*z)
, с 
drth 
1
ft>
нения
F( x , z, Dz,
£>*г) = О
m
2
a ik(x, D z ) z ^ - \- b ( x , z, D z)
= 0,
где a ik (x , p) и b (x, z, p)
— 
непрерывно дифференцируемые
функции для всех x £ Q , —
о о < г < - } - о о ,
р £ Р , име­
ет не более одного решения, если выполнены следующие

---

условия: при любых x ^ Q ,
— о о
< ^ z < ^ - \- o o , р ^ Р
т
а) 
2
/ > № > ° >
I, *=i
б) 
Ьг
(*, 
z, р)
0.
2. 
Задача Дирихле для уравнения М онж а
— 
Ампера
2
Ф (г) =
z nz n
— г |,
Aik
(*» 
D z) z ik
-f- 
В
(лг, 
z, D z) —
0,
i, *=i
Aik = Aki>
где A ik{x, p) и B{ x , z, p) — непрерывно дифференцируемые
функции для всех х
— 
о о < ^ г < ^ - [ - о о ,
р £ Р > имеет
не более одного решения, на котором квадратичная форма
Т(Ф, z) положительна
(
отрицательна
), 
если выполнены сле­
дующие условия: при лю бы х х £ Q , z
— о о , -f- о о ), 
р £ Р
а) 
— В - \ - А иАп — А 1 , > 0  
б) 
В г ^ 0 .
(Исследуется единственность в классе решений уравнения (7), 
на которых форма 
Т
(Ф, 
z
) положительно определенная. Ус­
ловие б) заменяется условием 
В г ^ 0 ,
если единственность 
задачи Дирихле рассматривается в классе решений уравнения 
(7), на которых форма Г(Ф, г) отрицательно определенная).
Для /гс-мерных аналогов уравнения Монжа — Ампера имеют 
место сходные теоремы единственности решения задачи Ди­
рихле.
В сформулированных выше теоремах единственности для 
квазилинейных уравнений и уравнений Монжа — Ампера речь 
шла о решениях, имеющих непрерывные вторые производ­
ные. Однако эти теоремы сохраняются и при более слабых 
предположениях относительно дифференциальных свойств ре­
шения. Достаточно, например, потребовать, чтобы решение 
принадлежало классу 
W
р41 при некотором 
р ^ > т
(т
раз­
мерность пространства). С геометрической точки зрения тео­
рема единственности для уравнений Монжа — Ампера пред­
ставляет особый интерес: к специальным случаям уравнения 
Монжа — Ампера приводят основные проблемы геометрии 
«в целом», связанные с вопросами существования и единст­
венности поверхности с заданной внутренней метрикой, за­
данной функцией главных нормальных кривизн и др. Разра­

---

ботаны методы [13], [14], позволяющие в весьма сложных 
условиях применить аналог принципа максимума к упомянутым 
частным- классам уравнений Монжа — Ампера и получить та­
ким образом теоремы о единственности решения задачи Д и­
рихле для этих уравнений.
3. 
Т е о р е м ы с у щ е с т в о в а н и я . Центральное место 
в исследовании разрешимости нелинейных эллиптических урав­
нений занимает задача Дирихле. Доказательства теорем су­
ществования решения для этой задачи весьма сложны, и в 
рамках этого добавления мы можем дать лишь весьма крат­
кий очерк основных методов и результатов.
Основное направление исследований в указанной области 
определилось двумя проблемами Д. Гильберта (19-й и 20-й), 
которые были поставлены им в 1900 г. В первой речь шла 
о справедливости гипотезы, что все достаточно гладкие р е­
шения эллиптических уравнений с аналитическими коэффи­
циентами являются также аналитическими функциями; вторая 
состояла в следующем: надо было доказать, что вариацион­
ная задача о нахождении функции, принимающей на границе 
заданное значение и сообщающей наименьшее значение дан­
ному функционалу