Задача Хольмгрена (Дирихле t ) для уравнения

Рассмотрим тождество

Интегрируя обе части этого тождества по области и используя известную формулу Гаусса-Остроградского, получаем формулу Грина для уравнения

где - граница области , а - внешняя нормал к .
Теорема 3.1.1. Обобиценная задача Хольмгрена для уравнения (3.0.1) в области имеет не более одного ремения при .
Доказательство. Поскольку - граница области и внешняя нормаль к , то нетрудно убедиться в том, что , если и в противном случае, где .
Легко проверить равенство:

После применения формулы Гаусса-Остроградского к интегралам, входящим в , при условии, что является решением уравнения (3.0.1), получим


где

Если рассмотреть однородный случай обобщенной задачи Хольмгрена, то из (3.1.8) получается

Отсюда следует, что в при . Тем самым доказана единственность решения обобщенной задачи Хольмгрена для уравнения (3.0.1). Теорема 3.1 .1 доказана.
Теорема 3.1.2. Задача Хольмгрена (Дирихле T") для уравнения (3.0.1) в области имеет не более одного реиения.
Доказательство теоремы 3.1.2 аналогично доказательству теоремы 3.1.1 .
§3.2. Существование решения обобщенной задачи Хольмгрена
Существование решения докажем методом функции Грина. Для определенности положим .
3.2.1. Функция Грина обобщенной задачи Хольмгрена.
Определение 3.2.1. Функцией Грина обобценной задачи Хольмзрена для уравнения (3.0.1) называется функция , удовлетворяюиая условиям:
(i) внутри области , кроме точки , эта функция является регулярным
решением уравнения (3.0.1);
(ii) удовлетворяет граничным условиям

(iii) она может быть представлена в виде

zде - фундаментальное решение уравнения (3.0.1), определенное формулой (2.2.32), а функция ябляется регулярным решением уравнения (3.0.1) в области .
Из представления функции Грина нам необходимо найти ее регулярную часть , удовлетворяющую условиям

Отсюда следует, что нужно выбрать регулярное решение в виде

где

Следовательно, для области функция Грина обобщенной задачи Хольмгрена для уравнения (3.0.1) имеет вид:

Вычислим производную по внешней нормали к границе области от фундаментального решения. Эта производная определяется формулой

Чтобы упростить запись, введем обозначения

и подробно остановимся на вычислении при . Используя известную формулу дифференцирования

получаем


где определена в .
Отсюда в силу смежного соотношения [151]

будем иметь

Аналогично вычисляются производные и по другим переменным :

Подставляя (3.2.3) - (3.2.5) в (3.2.2), получаем искомое выражение для
производной

В дальнсйшем нам будет необходимо вычислить производную по внешней нормали к границе области от функции :

где