И здан и е второе, стереотипное

J
(г) = J <р 
(х, z, D z) dx,
S
где ср 
(х, z, р)
— ограниченная снизу выпуклая функция пе­
ременных 
p v
. . . ,
р т,
всегда имеет решение, если его искать 
в достаточно широком классе функций. Так как уравнением 
Эйлера для функции, сообщающей экстремум функционалу 
J(z),
является квазилинейное эллиптическое уравнение
т
то в последующих исследованиях эта проблема тесно пере­
плелась с исследованием задачи Дирихле для квазилинейных 
эллиптических уравнений.
Первые фундаментальные результаты по нелинейным эл­
липтическим уравнениям общего вида с двумя переменными, 
в которых содержалось решение проблем Гильберта, были 
получены в классических работах С. Н. Бернштейна 1908— 
1912 гг. С. Н. Бернштейн доказал, что трижды непрерывно

---

дифференцируемые решения нелинейных аналитических урав­
нений эллиптического типа являются аналитическими функ­
циями своих аргументов. Далее им были получены следующие 
результаты по разрешимости задачи Дирихле для уравнения
F
(-Vi> 
х<& z t Z\> z%y Znt Zur z%
2
) 
0. 
(8)
Предполагая функцию 
F
аналитической по всем аргументам 
и предполагая аналитичность граничных условий, С. Н. Берн­
штейн доказывает, что если в задачу Дирихле для уравне­
ния. (8) аналитическим образом может быть введен параметр 
t
£1 [о, 1] так, что при 
t =
0 задача Дирихле имеет анали­
тическое решение, при 
t —
1 обращается в исходную задачу
и, наконец, при всех ^ £ [ 0 , 1] можно получить равномерные 
оценки в метрике пространства С (2) для решений всех вспо­
могательных задач Дирихле (предполагая лишь существование 
решения), то исходная задача имеет решение в классе ана­
литических функций. Для квазилинейных уравнений доста­
точно иметь оценки решений вспомогательных задач в мет­
рике С(1).
Оценки для решений дифференциальных уравнений, кото­
рые получаются лишь в предположении существования ре­
шения и при получении которых используются лишь свойства 
коэффициентов уравнения и граничных условий краевой за­
дачи, принято называть 
априорными.
Для аналитических задач 
Дирихле в случае двух переменных вопрос о разрешимости 
задачи Дирихле оказался сведенным к вопросу о получении 
равномерных априорных оценок в метрике С <2) для общих 
уравнений и в метрике С '1* для квазилинейных уравнений.
Для квазилинейных эллиптических уравнений
2
2