И здан и е второе, стереотипное

a ik
(х, 
D z ) z i k - \ - b ( x , z, Dz ) =
0
с аналитическими коэффициентами, удовлетворяющими усло­
вию
2
I 
b
К
RM
2
а1ъ
(*» 
Р)
№
/.* = 1
при всех 
и 
\ z \ ^ M , р \ - \ - р \ ^ \ ,
где 
R
m
— постоян­
ная, зависящая только от 
М,
получены априорные оценки 
модулей первых производных в задаче Дирихле. При этом

---

предполагается, что область 12 ограничена аналитическим 
контуром со строго положительной кривизной, 
~
< 0 и
OZ
^
имеется априорная оценка модуля решения; существование 
априорной 
оценки 
модуля решения 
гарантировано, если 
fa
^ const < 0.
Для указанного класса уравнений установлена разреши­
мость задачи Дирихле. Вариационная задача о минимуме функ­
ционала
$ tp(jf, 
z, D z)d x ,
 
(
9
)
Q
где <р удовлетворяет неравенству
2 
д*
 
2
21
T p jd p k ^
 ^ “о 
21
**> 
* = con st > 0*
J. * = 1 
ft=0
приводит к решению задачи Дирихле для квазилинейного 
уравнения упомянутого выше класса; тем самым эта вариа­
ционная задача также оказывается разрешимой.
Результаты С. Н. Бернштейна оказалось возможным пе­
ренести на пространства гельдеровых функций С**“; в этих 
пространствах названные результаты формулируются наибо­
лее просто и естественно. Основные теоремы С. Н. Берн­
штейна об общих эллиптических уравнениях и вариационных 
задачах доказаны при сравнительно легких требованиях глад­
кости (достаточно принадлежности решения пространству С*. * 
для общих уравнений и пространству С1 * для вариационных 
задач). 
Указанные доказательства 
опираются на работы 
Шаудера по априорным оценкам и разрешимости 
краевых задач для линейных эллиптических уравнений в про­
странствах гельдеровых функций.
Ж. Лере и Ю. 
Ш аудер разработали топологические 
методы .решения эллиптических и некоторых других функ­
циональных уравнений. Эти методы представляют собой ши­
рокое обобщение метода С. Н. Бернштейна продолжения по 
параметру.
Параллельно в ряде работ, ведущих свое начало от 
Д. I ильберта, решение вариационных задач шло другим пу­
тем. Были созданы так называемые прямые методы, дающие 
минимизирующую последовательность, которая сходится к

---

функции, реализующей экстремум данного функционала. При 
этом без дополнительного исследования удается гарантиро­
вать лишь принадлежность такой функции пространству вида 
W lp'>
1; естественно такую функцию считать обобщенным 
решением вариационной задачи. 
В подобных построениях 
количество независимых переменных не играет, как правило, 
никакой роли.
В случае двух независимых переменных можно, наклады­
вая на подынтегральную функцию в функционале (9) раз­
личные требования гладкости, установить достаточную глад­
кость обобщенного решения.
Доказательство гладкости обобщенных решений в случае 
т
~^>2 потребовало разработки новой методики априорных 
оценок в С1’"» которая учитывала бы специфику большого 
числа независимых переменных. Такая методика разработана 
для функционалов вида (9), в которых подынтегральная функ­
ция ср