Несмищенная и смещённая оценки для решения задачи Коши для обобшенного уравнения неизотропной диффузии

1.2 Несмищенная и - смещённая оценки для решения задачи Коши для обобшенного уравнения неизотропной диффузии.
Рассмотрим задачу Коши в классической постоновке в мерном пространстве в слое
, (2.1)
, , (2.2)
где и постоянные коэффчциенты, .
Пусть - матрица, - матрица.
Предлогаем:

• 
  матрица симметрична и положительно определена.
  
• 
  матрица такая что, матрица Грамма положительно определена (невырождена).
  

Функции и будем считать непрерывными в . В педложении сушествования единственности решения задач (2.1)-(2.2) построим алгоритм для его численной реализации.
Для дальнейшего будут удобны следующие обозначения. Введем (в блочной записи) матрицы. Эти матрицы имееют следующий вид
, ,
, ,
блок размера , блок размера , блок размера , размера , матрицы аналогичных размеров. Здесь и далее - единичная матрица, - диагональная матрица .
Лемма 2.1. Матрицы и при положительно определены.
Доказательства. Легко проверить, что матрица в блочном разбиении имеет вид

Достаточно доказать положительную определенность матрицы . Соответствуюшая ей квадратичная форма от переменных ( - - мерное евклидово пространство строк) и имеет вид
Видим, что она равна сумме двух квадратичных форм с невырожденными матрицами Грамма и и поэтому . Равенство влечет равенства и , т.е. Лемма доказана.
Из доказанного следует, что матрица является симметричной и положительно определенной. Это означает что квадратичная форма для произвольного , поэтому матрица представима в виде произведения некоторой матрицы на ее транспонированную , а именно .
Тогда - фундаментальное решение уравнение (2.1) с сингулярностью в точке имеет вид
(2.3)
где , .
Спомошью фундаментального решения определим в области (шароиды) следующим образом. Пусть число (параметр) .
Область

будем называть шароидом радиуса с центром в точке . можно переписать в виде
(2.4)
Из (2.4) видно, что удовлетворяет следущим условиям , . Каждое сечение шароида горизонтальной плоскостью , , является - мерным эллипсоидом с центром в точке . Если . то . При и монотонно стягиваются к центру .
Поэтому сушествует такое что при , .
Пусть такое что тогда для решения задачи (2.1)-(2.2) справедливо следующие соотношение
, (2.5)
где
,
.
Здесь мерная единичная сфера с обычными ортогональными координатами , для , . единичный - мерный вектор.
, (2.6)
.
Из (2.6) следует, что если , при , то .
Приступим к построению марковский цепи , на которой будем строить несмещенную оценку решения задачи (2.1)-(2.2).
Для , преминев формулу (2.5) полочим

Отсюда следует, что ядро интегральрого ураинения (2.5) можно рассматривать как плотность распределения.
Рассмотрим интеграл
.
Сделав замену переменных , получим

где - гамма функция. Теперь можем представить следующим образом

где - плотность гамма-распределенной случайной величины с параметром , .
Алгоритм выбора матрицы , удовлетворяющей соотношению приводится в параграфе 1.1. Для наших целей будем моделировать случайной вектор с полностью распределения
, (2.7)
где - индикатор множества , - поверхность единичной сферы, - элементы матрицы размера - . Так как являются координатами единичного вектора и получим , где - наибольшее собственное значение матрицы . Тогда можно моделировать случайный вектор с плотностью распределения (2.7) методом Неймана. Приведем алгоритм моделирования.