Несмищенная и смещённая оценки для решения задачи Коши для обобшенного уравнения неизотропной диффузии

Доказательства: введем область

получающуюся, очевидно, зеркальным отображением шароидов относительно плоскости . Эти области также будем называть шароидами (радиуса ). Тогда имеем


Следаем в этом интеграле замену переменных интегрированиния на по формулам
, .
Несложные вычисления показывает, что

.
Область интегрирования переобразуется в цилиндр . Отсюда получим

.
Сначало во внутреннем интеграле сделаем замену переменных , затем во внешнем интеграле и тогда, получим


,
где - случайная величина с плотностью распределения - (гамма-распределение), - случайная величина с плотностью распределения , - случайная вектор с плотностью распределения ( - поверхность единичной сферы). Лемма доказана.
Рассмотрим вопрос о вычислительной реализуемости оценки (10). Возьмем достаточно малым и рассмотрим .
Пусть - момент первого попадания процесса в т.е. - момент остановки процесса (марковский момент).
Лемма 2.2 Имеет место неравенство: ;
Доказательство. Взяв и применив формулы (2.10) и (2.11) получим
.
Из определения следует что .
Отсюда получим, что . Следовательно . Лемма доказана.
Теорема 2.2 Пусть выполняются условия теоремы 2.1. Тогда является несмещенной оценкой для . Дисперсия ее конечна.
Доказательство. Из теорема 2.1 следует, что квадратично интегрируема и отсюда является равномерно интегрируемой и . Далее момент остановки процесса является марковским моментом. Поэтому согласно тэореме Дуба “О преобразовании свободного выбора” и формуле (2.9) , т.е. является несмещенной оценкой для . Из определения случайных величин и видно, что . Далее, имеем


.
т.е. .
Из стандартным способом строится смешенная, но практически реализуемая оценка .
Пусть и - ближайшая к точка . В оценки

заменяем на и получаем
.
Теорема 2.3. Пусть удовлетворяет условию Липщице и модуль непрерывности . Тогда случайная величина является смещенной оценкой для . ограниченная функция параметра .
Доказательство. Так как , то

,
т.е - смещенная оценка (смещение которой не перевосходит )

. Теорема доказана.