Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла

Метод прямоугольника трапеции
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
( 1 )

где  - заданная и интегрируемая на отрезке  функция.
Если один или оба предела равны  или  , то с помощью трюков с заменой переменных можно осуществить переход к конечному отрезку от луча или всей числовой прямой.
Введем на  сетку с переменным шагом  , т.е. множество точек  , и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
( 3 )

Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке  достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
( 4 )

на частичном отрезке  и воспользоваться свойством (3).
Метод прямоугольников
Формула прямоугольников на частичном отрезке и ее погрешность


Рис.2
Заменим интеграл (3) выражением  , где 
Тогда получим формулу
( 5 )

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке 
Погрешность метода (5) определяется величиной

которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем  в виде
( 6 )

и воспользуемся разложением

где  . Тогда из (6) получим

Обозначая  , оценим  следующим образом:

Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка
( 7 )

т.е. формула имеет погрешность  при  .
Заметим,что оценка (7) является неулучшаемой, т.е. существует функция  , для которой (7) выполняется со знаком равенства. Действительно, для  имеем  и

Составная формула прямоугольников и ее погрешность
Суммируя равенства (5) по  от  до  , получим составную формулу прямоугольников
( 8 )

Погрешность этой формулы

равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам,

Отсюда, обозначая  , получим
( 9 )

т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть велицина  .
Видим, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.
Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек
Заметим, что метод прямоугольников в том виде,в котором он описан выше, не применим в общем случае к функциям,значения которых мы знаем в конечном числе точек, так как, например, мы не всегда можем разбить отрезкок интегрирования на подотрезки, серединами которых являются точки,в которых нам известно значение функции.
Метод трапеций
Формула трапеций на частичном отрезке и ее погрешность


Рис.3
На частичном отрезке эта формула имеет вид
( 10 )

и получается путем замены подынтегральной функции  интерполяционным многочленом первой степени,постоенным по узлам  , т.е. функцией

Для оценки погрешности достаточно вспомнить,что

Отсюда получим

и,следовательно,

( 11 )

Оценка (11) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для  .
Составная формула трапеций и ее погрешность
Составная формула трапеций имеет вид
( 12 )

где  .
Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:
( 13 )

где 
Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности, , но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.