Решение для всех последующих моментов. Чтобы проиллюстрировать общий подход, рассмотрим

---

10/23
Тогда получаем 
или в матричной форме 
В
результате имеем 
3. Далее, полагая
, можно сделать следующий шаг по времени, решая новую систему алгебраических уравнений.
Аналогичный процесс продолжается до достижения значения 
.
Разностные схемы решения уравнений гиперболического типа
Методы сеток для решения гиперболических уравнений имеют много общего с соответствующими методами для
параболических уравнений. Однако они имеют и свои особенности, связанные с типом уравнения.
Сначала рассмотрим проблему конструирования явных разностных схем. Основная идея состоит в том, что после
замены дифференциального уравнения гиперболического типа его конечно-разностной аппроксимацией получаются
формулы, явно выражающие значения решения для одного расчетного временного слоя через значения решения на
предыдущем временном слое. Таким образом, если известно решение в начальный момент времени, можно шаг за шагом
(послойно) найти решение для всех последующих моментов. Чтобы проиллюстрировать общий подход, рассмотрим
типичную краевую задачу для волнового уравнения.
Пример 8.6.
Построить явную и неявную разностные схемы для решения задачи, в которой имеется струна длиной ,
натянутая между двумя точками оси 
, точкой 
и точкой 
. Концы струны закреплены, начальное смещение

---

Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка – MathHelpPlanet
11/23
струны описывается функцией 
, а начальная скорость — функцией 
.
Решается первая начально-краевая задача:
(начальное условие)
(начальное условие)
(краевое условие на левой границе)
(краевое условие на правой границе).
Сравнивая с общей постановкой задачи, получаем 
— заданные числа.
Для аппроксимации производных в решаемом уравнении будем использовать (8.30) и (8.26):
Отсюда
Эта формула выражает решение на (n+1)-м временном слое через решение на n-м и (n-1)-м слоях. В отличие от схем
для уравнения теплопроводности, в которых использовались только два временных слоя (n-й и (n+1)-й) , здесь требуется
использовать три слоя: (n-1)-й, n-й и (n+1)-й. Ей соответствует пятиточечный шаблон, изображенный на рис. 8.10,а ,
называемый "крест".
(8.49)

---

Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка – MathHelpPlanet
12/23
При записи в разностной форме начальное условие 
, запишется в следующем виде:
начальное условие 
, с применением (8.27) при 
в виде 
, или, используя предыдущее соотношение,
краевые условия представляются в форме:
Соотношения (8.49)–(8.52) образуют явную трехслойную разностную схему. Эта схема имеет первый порядок
аппроксимации по и второй — по , так как соотношение (8.51) аппроксимирует дифференциальное начальное условие с
первым порядком.