O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi qo‘qon davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti matematika o’qitish metodikasi kafedrasi

VEKTORLARNI PARALLEL KO’CHIRISH
Evklid geometriyasida tekislikda va fazoda vektorlarni bir nuqtadan ikkkinchi nuqtaga parallel ko’chirishni biz yaxshi bilamiz. Lekin sirtlardabir nuqtadagi urinma vektorni ikkinchi nuqtadagi urinma vektorga parallel ko’chirishda Evklid fazodagi parallel ko’chirishdan foydalanib bo’lmaydi ,chunki, bitta nuqtadagi urinma vector ikkinchi nuqtada sirtga urinma vektor bo’lmay qolishi mumkin. Shuning uchun sirtlarda parallel ko’chirish qoidasini boshqacha yo’l bilan aniqlashga kirishamiz. Avvalo biz vektor maydonlar va ularni kovariant differensiallash tushunchalarini kiritamiz.
2.1-§. VEKTOR MAYDONLAR
Uch o’lchamli Evklid fazosining birorta ochiq G to’plam berilgan bo’lsin. Agar G to’plamga tegishli har bir p nuqtaga bitta X(p) vektor mos qo’yilsa, bu moslik vektor maydon deb ataladi.Fazoda oxyz dekart koordinatalar sistemasini kiritib X (p) vektorni bazis vector orqali ifodalasak
X(p)=X₁(p) +X₂(p) +X₃(p)
tengliklarni hosil qilamiz.Bu yerda X(p) vektorning X₁(p) , X₂(p), X₃(p) koordinatalar p nuqtaning funksiyalaridir.Demak vector maydon berish uchun
X ₁(x,y,z), X₂(x,y,z), X₃(x,y,z)
Funksiyalar ko’rsatilishi yetarlidir.
2.2-§. Gauss-Bonne teoremasi
Bu paragrafda sirtda berilgan yopiq chiziq bo’ylab birorta urinma vektorni parallel ko’chirib boshlang’ich nuqtaga qaytganimizda, vektorning boshlang’ich va oxirgi holatlari orasidagi burchak bilan sirtning to’liq egriligi orasidagi munosabatni topmoqchimiz.
Faraz qilaylik, regulyar Ô sirt
r , r(u, v), (u, v) G
tenglama yordamida parametrlangan bo’lsin. Fazoda
vektorlar yordamida oriyentasiyani aniqlab, sirtda ru vektordan rv vektorga burilishni musbat burilish deb hisoblaymiz. Sirtda chegarasi bir nechta 1, silliq chiziqlardan iborat bo’lgan bir bog’lanishli A soha qarab, uning chegarasini Г bilan belgilaylik. Bu sohaning chegarasida birorta p(u0 , v0 )
n uqta va sirtga urinma bitta a vector berilgan bo’lsin. Musbat yo’nalish bo’yicha a vektorni Г chiziq bo’ylab parallel ko’chirib yana p(u0 , v0) nuqtaga qaytsak, a vektorni parallel ko’chirish natijasida b vektorni hosil qilamiz. Bu vektorlar orasidagi burchakni bilan belgilab, uni
h isoblashga kirishamiz. Buning uchun Ф sirtda birlik urinma c vektor maydonni qaraymiz va c0=c (u , v ) belgilash kiritib, 0 bilan a va c vektorlar orasidagi burchakni belgilaymiz. Sohaning chegarasi à chiziqning har
b ir nuqtasida a va c vektorlar orasidagi burchakni bilan belgilasak, (u0 , v⁰ ) 0 bo’ladi. Endi parallel ko’chirish natijasida hosil bo’lgan b vektor bilan c vektor orasidagi burchakni 1 deb belgilasak, 1= 0+ b0 tenglikni hosil qilamiz. Chunki, biz musbat yo’nalish bo’yicha harakat qilganimiz uchun burchak ortib boradi.
Shuning uchun tenglik o’rinli bo’lib, sohaning chegarasini bir marta aylanib chiqishda hosil bo’lgan burchak orttirmasiga teng bo’lib, uni
(1)
ko’rinishda yoza olamiz. Hisob kitob qulayligi uchun | a0 |= 1 deb hisoblasak, Г chiziqning hamma nuqtalarida | a0 |= 1 tenglik o’rinli bo’ladi. Endi burchakning d differensialini hisoblash uchun (a, c) = cos tenglikdan foydalanamiz. Bu tenglikni differensiallab
(da, c) + (a, dc) =- sin
tenglikni hosil qilamiz. Urinma a vektor Г chiziq bo’ylab, a vektorni parallel ko’chirish natijasida hosil bo’lganligi uchun da vektorning urinmatekislikka proåksiyasi nol’ vektorga teng bo’ladi, demak (da, c) = 0 va -sin (a, dc) tengliklar hosil bo’ladi.
Burchak d differensialini hisoblashda yana bir narsani hisobga olishimiz zarur. Agar a0 vektorni boshqa birlik g0 vektor bilan almashtirib, bilan a , g vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, unda ularni à chiziq bo’ylab parallel ko’chirish natijasida hosil bo’lgan a, g vektorlar orasidagi burchak ham α0 ga teng bo’ladi. Shuning uchun, agar ψ bilan c, g vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, o’rinlidir. 0 bo’ladi va demak tenglik o’rinlidir.
Endi sirtning har bir nuqtasida c vektorga perpendikulyar bo’lgan p vektorni shunday tanlaymizki, har bir nuqtada {c, p, n} vektorlar oilasi o’ng sistemani hosil qilsin.
Misol uchun, bunday vektorni hamma nuqtalarda c vektorni urinma tekislikda + 90ᵒ ga burib hosil qilish mumkin. Soha chegarasiga tegishli q nuqtani olib, bu nuqtadagi p vektorni M nuqtaga parallel ko’chirib vektor bilan

vektorni Г chiziq bo’ylab parallel ko’chiramiz va natijada Г ning hamma nuqtalarida berilgan vektorni p0 bilan belgilaymiz. Agar burchak c va p0 orasidagi burchak bo’lsa, q nuqtada p0 vektor p vektor bilan ustma-ust tushganligi uchun bu nuqtada ψ0=- bo’ladi va demak tenglik o’rinli bo’ladi.

dψ= ( p, dc ) (2)
Biz q nuqtani ixtiyoriy tanlaganimiz uchun bu ishni hamma q nuqtalar uchun takrorlab, (2) tenglikni hosil qilamiz. Endi d ning ixtiyoriy q nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun natijada d = d ψq tenglikdan foydalanamiz va
d (q) = dψ q (q)= -( p, dc) (3)
f ormulani hosil qilamiz. Bu formula biz uchun muhim ahamiyatga ega, chunki ( p, dc) skalyar ko’paytmani hisoblay olamiz.
Endi biz ( p, dc) skalyar ko’paytmani hisoblashga kirishamiz. Buning
U chun dc= c udu c dv tenglikni va (3) tenglikni hisobga olib (1) tenglikni

ko’rinishda yozamiz.
Biz

formuladan foydalanib
dudv
tenglikni hosil qilamiz. Endi
[ , ] = | [ , r ] | va [nu , nv ] = K[ru , rv ] tengliklardan u [ , ]=K | [ , ] | tenglikni hosil qilamiz. Bu erda K sirtning Gauss egriligidir. Bu tenglikdan ( ) - ( ) ifodani hisoblashda foydalanamiz.

Buning uchun

formulani hosil qilamiz.
Endi yuqoridagi (4) formuladan foydalanib Gauss-Bonne teoremasini isbotlaylik. Buning uchun A sohani chegaralovchi à chiziq bir nechta silliq chiziqlardan iborat ekanligini eslatib o’tamiz. Demak, bu chiziqning urinma vektori aniqlangan bo’lib, à chiziqni aylanib chiqish davomida u silliq chiziqlarning tutash nuqtalarida funksiya sifatida uzilishga ega bo’ladi, ya’ni uning yo’nalishi sakrab o’zgaradi. Sohaning chegarasi à chiziq bo’ylab parallel ko’chirilayotgan vektor bilan vektor orasidagi burchakni ψ bilan, c vektor va a vektor orasidagi burchakni yuqoridagidek bilan belgilasak, va vektorlar orasidagi burchak  uchun tenglik o’rinli bo’ladi. Biz à chiziqni bir marta aylanib chiqsak,
^→  ^→(u0 , v0 ), c^→  c^→(u0 , v 0 )
vektorlar yana o’z vaziyatiga qaytadi. Demak, burchakning orttirmasi 2 k ga teng bo’lishi kerak. Aslida esa bu orttirma 2 ga tengdir. Chunki A soha doiraga va chegarasi esa aylanaga gomeomorfdir.
Demak, yoki bo’ladi. Parallel ko’chirilayotgan vektor va chiziqning urinma vektori orasidagi burchak orttirmasi uchun
tenglik o’rinli bo’ladi.
Bu yerda - i - chi tutashish nuqtasidagi burchak orttirmasidir. Endi dψ ni hisoblash uchun dψ=- ( , d ) tenglikdan foydalanamiz. Bu yerda vector sifatida ni sirtning urinma tekisligida +90⁰ ga burib hosil qilingan vektorni qabul qilamiz. Endi b,m) formulani hosil qilamiz. Bu yerda m chiziqning bosh normalidir. Shunda ( , skalyar ko’paytma vektorning urinma telislikdagi proeksiyasi ekanligidan va chiziqning egriligi | | ga tengligidan =k_g tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda k_g -chiziqning geodezik egriligidir. Endi bularni hisobga olib tenglikni
dudv+
ko’rinishda yozamiz. Hosil bo’lgan formula Gauss-Bonne teoremasi deb ataladi. Endi
dudv
A integral A sohaning yuzasiga teng ekanligini ko’rsatamiz.
Buning uchun avvalo soha yuzasi tushunchasini kiritamiz. Sirtdagi A sohani kichkina sohachalarga ajratib, har bir kichkina sohachaning chegarasi yopiq chiziq bo’lib, bu yopiq chiziq chekli sondagi silliq chiziqlardan iborat bo’lishini talab qilamiz. Bu kichkina sohachalarni a bilan belgilaylik. Endi har bir a sohadan bittadan P nuqta olib, shu nuqtadan sirtga urinma tekislik o’tkazamiz. Kichkina sohachalar shunchalik kichik bo’lishi kerakki, a sohani P nuqtadan o’tadigan urinma tekislikka proeksiyalash o’zaro bir qiymatli moslik bo’lishi kerak. Urinma tekislikdagi a sohaning proyeksiyasini an bilan uning yuzasini S (a_n ) bilan belgilaymiz.
ifodaning sohalar son cheksizlikka intilgandagi limitini A sohaning yuzasi deb ataymiz va S ( A) bilan belgilaymiz. Endi S ( A) ni hisoblashga kirishamiz. Buning uchun har bir a uchun S (a_n ) ni hisoblaymiz. Agar P nuqtani koordinata boshi sifatida qabul qilib, Z o’qini shu nuqtadagi normal bo’yicha yo’naltirsak, XY tekisligi P nuqtadagi urinma tekislik bilan ustma-ust tushadi. Bu koordinatalar sistemasida
x=x(u,v)
y=y(u,v)
tengliklar a_n sohacha bilan G sohadagi birorta moslik o’rnatadi. Agar sohacha o’rtasida o’zaro bir qiymatli bo’lsa,

tengliklar o`rinli bo’ladi. Bu yerda u₀ , v₀ sirtda P nuqtaning ichki koordinatalaridir. Bundan tashqari, [r , ]
tengliklardan,

munosabat kelib chiqadi. Birinchi tartibli xususiy hosilalar uzluksiz bo’lgani uchun

determinant pa (u₀ , v₀ ) nuqtaga yetarli yaqin nuqtalarda ham noldan farqli bo’ladi. Faraz qilaylik  a  0 son uchun |u-u₀|< , |v-v₀|< tengsizliklar bajarilganda yuqoridagi determinant noldan farqli bo’lib, sirtning
x=x(u,v)
y=y(u,v) (u,v)𝟄{(u,v) |u-u₀|< , |v-v₀|< }
z=z(u,v)
tenglamalar bilan aniqlangan qismi a sohani o’z ichiga olsin. Shunda
x=x(u,v), x(u₀,v₀)=0
y=y(u,v), y(u₀,v₀)=0
tenglamalar sistemasidan oshkormas funksiya haqidagi teoremaga asosan differensiallanuvchi u=u(x,y), v=v(x,y) funksiyalar mavjud bo’ladi. Shunda asohani urinma tekislikka proeksiyalash ( x, y, z) ( x, y) formula orqali ifodalangani uchun u = u( x, y), v = v( x, y) funksiyalar ansohachani G sohadagi sohachaga gomeomorf akslantiradi. Demak, an sohacha yuzasini hisoblash uchun karrali integraldan foydalanib S (a_n ) = dxdy ko’rinishda yozsak, uni x = x(u, v), y = y(u, v) almashtirishdan keyin
S (a _n) = dudv
ko’rinishda yoza olamiz. Bu yerda
abc
bilan determinantning absolyut qiymati belgilangan. Endi P nuqtada
| [ , ] |=abs
tenglik o’rinli bo’lgani va | [ , ] | funksiyaning uzluksizligidan har bir (u, v) 𝟄 a_n nuqta uchun
abs =| [ , ] |+ (u,v)
tenglikni yoza olamiz. Bu yerda kichiklashganda u nolga intiladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.N.D. Dadajonov ,M.Sh.Jo’ra ,,Geometriya” 1-qism.
2.A.Ya. NARMANOV. ,,DIFFRENSIAL GEOMETRIYA” Toshkent . 2010.
3.A.YA. NARMANOV, A.S.SHARIPOV, J.O.ASLONOV. ,,Diffrensial geometriya va topologiya kursidan masalalar to’plami
4.,, Geometrik yasash metodlari’’ P.K. Otajonov TOSHTENT. 1965.
5.N.Dadajonov, P.Yunusmetov, T.Abdullayev ,, Geometriya’’ II-qism Toshkent . 1988.
6.WWW.ZIYOUZ.COM KUTUBXONASI.