Differensial tenglamalar sistemasi

Differensial tenglamalar sistemasi.
(1)
differensial tenglamalar sistemasini qanoatlantiruvchi funksiyalarni topish masalasi qo’yilgan bo’lsin. Bunday differensial tenglamalar sistemasini normal sistema deyiladi.
Sistemaning birinchi tenglamasini bo‘yicha differensiallab
tenglikni hosil qilamiz. larni (1) tengliklarni o‘ng tomonlari bilan almashtirib,

tenglamani hosil qilamiz. Hosil bo‘lgan tenglikni differensiallab, yuqoridagi ishni takrorlab,

tenglamani hosil qilamiz. Shu jarayonni davom ettirib

tenglamani hosil qilamiz. Shunday qilib,
(2)
sistemani hosil qilamiz. Bu sistemaning birinchi tenglamasidan larni va lar orqali ifodalab
(3)
Bu tengliklarni (2) sistemaning oxirgi tenglamasiga qo‘yib -tartibli

tenglamani hosil qilamiz. Bu differensial tenglamani yechib

yechimni aniqlaymiz. Bu yechimni marta differensiallab hosilalarni topamiz. Bu hosilalarni (3) tengliklarga qo‘yib
(4) 
yechimlarni hosil qilamiz.
Misol.'>Misol. Quyidagi tenglamalar sistemasini yeching

Yechish: birinchi tenglamani x bo’yicha differensiallaymiz:
.
Birinchi tenglamadan va ikkinchidan ga ega bo’lamiz. z va ni tenglamaga olib borib qo’yib, bitta noma’lum ikkinchi tartibli differensial tenglamaga kelamiz:
.
Bu tenglamani yechib yechimni topamiz va unda

bo’ladi.


Misol.
sistemaning boshlang’ich shartlardagi yechimini toping.
Yechish: Birinchi tenglamani x bo’yicha differensiallaymiz:
.
Bunga va hosilalarning birinchi tenglamalardagi ifodalarini qo’yib,

yoki

tenglamani hosil qilamiz.
Sistemaning birinchi tenglamasidan
ni aniqlab, tenglamaga qo’yamiz, u holda

yoki

tenglama hosil bo’ladi.
Bu tenglamaning umumiy yechimi

bo’lib, bo’ladi.
O’zgarmas va miqdorlarni
boshlang’ich shartlar qanoatlanadigan qilib tanlaymiz. Bu holda

tengliklarni hosil qilamiz, bundan . Shunday qilib, berilgan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechim

ko’rinishda bo’ladi.
Misol. tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish: Birinchi tenglamani t bo’yicha differensiallasak,
yoki tenglama hosil bo’ladi.

tenglamalardan y va z o’zgaruvchilarni yo’qotsak, x ga nisbatan ikkinchi tartibli

tenglamaga ega bo’lamiz. bu tenglamani integrallab, uning umumiy yechimini topamiz:
.
Bundan
va
Berilgan tenglamalarning uchinchisiga x va y ning topilgan ifodalarini qo’yib, z ni aniqlash uchun

tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab, ekanini topamiz. Bu tenglamaga asosan, bo’ladi.
Misol. differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi topilsin.
Yechish: Birinchi tenglamaning ikkala tomonini x bo’yicha ikki marta differensiallaymiz:

Ammo , shu sababli to’rtinchi tartibli tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab, uning umumiy integralini hosil qilamiz:
.
Bundan ni topib va uni birinchi tenglamaga qo’yib, z ni topamiz:
.
Misol.
differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi topilsin.
Yechish. Xarakteristik tenglamani tuzamiz:

yoki . Buning ildizini topamiz. .
Sistamaning yechimini bunday ko’rinishda izlaymiz:
,
ildiz uchun sistemani tuzamiz va va ni aniqlaymiz:
yoki
bu tenglamalardan ni topamiz. desak, ni hosil qilamiz. Shunday qilib, biz sistemaning yechimini hosil qildik:
.
Endi ildiz uchun sistemani tuzamiz va desak, ni aniqlaymiz:

bu tenglamalardan va . Sistemaning ikkinchi yechimini hosil qilamiz:
.
Sistemaning umumiy yechimi bunday bo’ladi:

Misol. differensial tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish: Birinchi tenglamani bo‘yicha differensiallab
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglikka ifodalarni qo‘yib
yoki tenglikka ega bo‘lamiz.
Berilgan sistemaning birinchi tenglamasidan ni topib tenglamaga qo‘yib, yoki ikkinchi tartibli tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasi bo‘lib . Shuning uchun  tenglamaning umumiy yechimi
dan bo‘yicha hosila olamiz:

Buni tenglikka qo‘yib


 yechimni topamiz.
_{Mustaqil yechish uchun misol va masalalar.}
Quyidagi tenglamalar sistemasini yeching:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.