O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi qo‘qon davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti matematika o’qitish metodikasi kafedrasi

I.1-§. SIRLARNING ICHKI ENERGIYASI
Sirtning unda yotuvchi chiziqlar uzunligiga bog’liq xossalari uning ichki geometriyasi tashkil qiladi. Sirt ichki geometriyasini o’rganishda geodezik chiziqlar muhim rol o’ynaydi. Sirtlarda geodezik chiziqlar o’zlarining xossalari bo’yicha tekislikdagi to’g’ri chiziqlarga yaqin turadi.
I. 2-§. Geodezik chiziqlar
Regulyar O sirt va unda yotuvchi ikki marta differensiallanuvchi parametrlangan egri chiziq tenglama bilan bo’lsin.
Ta’rif: Parametrning har bir t qiymatida ’’(t) vektor sirtnin (t) nuqtasidagi urinma tekislikka perpendikulyar bo’lsa, chiziq geodezik chiziq deb ataladi.
Izoh. Bu yerda (t) chiziqning radius vektori qiymatida ’(t) bo’lgan nuqtasidir .
²uning tezlik vektori ’(t) o’zgarmas uzunlikka ega bo’ladi.
Isbot: Skalyar ko’paytma ( ’) uzunlik kvadrati bo’lganligi uchun uni,differensiallanib uning hosilasi nolga tengekanligini ko’rsatamiz.Haqiqatan,( ’)=0 . Demak , ’(t)| = o’zgarmasdir.
Teorema: Geodezik chiziq tenglama bilan berilgan bo’lib, S=s(t) differensiallanuvchi funksiya yordamida parametrni almashtirganimizda parametrlamgan chiziq hosil bo’lsin. Parametr almashtirgandan keyin chiziq geodezik bo’lishi uchun s= bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot:Berilgan S=S(t) formula parametrni almashtirish formulasi bo’lganligi uchun s’(t)>0 (yoki, s’(t)<0) munosabat o’rinli bo’ladi. Agar s’(t) tenglama geodezik chiziqni aniqlasak,
, ’’(t)= ²+ s’’(t)

Tengliklarni hosil qilamiz. S’(t) 0 bo’lganligi uchun s’’=0 hosil bo’ladi. Demak, s(t) = deb faraz qilaylik
tenglik va vektorlarning collinear ekanligini ko’rsatadi.
Natijada har qanday geodezik chiziq tabiiy parametrga nisbatan ham geodezik chiziq bo’ladi, chunki s(t) yoy uzunligi uchun

tenglik o’rinlidir.
Endi geodezik chiziqlar uchun differensial tenglamalar sistemasini keltirib chiqaramiz. Regulyar O sirtning (f,G) parametrlash usuli =
tenglama bilan berilgan bo’lsin.
Agar geodezikchiziqning ichki koordinatalardagi tenglamalari u=u(t), v=v(t) ko’rinishda bo’lsa, 9- paragrafdagidek u₁=u, u₁=v belgilash kiritib
Tengliklarni hosil qilamiz. Endi ifodalar uchun derivatsion formulalarni ishlatib
ifodani hosil qilamiz .Endi vektorning n vektorga koollinear ekanligi va vektorlarning chiziqli erkli ekanligidan
kelib chiqadi. Demak, u=u₁(t) u=u₂(t) tenglamalar geodezik chiziqni aniqlash uchun u₁(t) , u₂(t) funksiyalar

Sistemaning yechimi bo’lishi zarur va yetarlidir.