|
Teorema: Regulyar F sirtga tegishli har bir nuqtasi atrofida uning uchun yarim geodezik parametrlash usuli mavjuddir.
Isbot: Sirtning p nuqta atrofidagi regulyar parametrlash usuli
G
t englama yordamida aniqlangan p(u0,v0) nuqtadan o’tuvchi va ikki marta differensiallanuvchi chiziq ichki koordinatalarda
u=( u(t)
v=v(t) atenglamalar yordamida aniqlangan, va u=u(t), v=v(t) bo’lsin. Shunda ko’rinishda bo’ladi .Shunda chiziqning fazodagivektor tenglamasi
ako’rinishda bo’ladi. Har bir t uchun vektorga perpendikulyar birlik urinma vektorni (t) deb belgilaymiz .Bundan tashqari (t) vektorni vektorlar shunday tanlaymizki, { (t)} vektorlar urinma fazoda { , vektorlar bilan bir xil oriyentasiyani aniqlasin. Urinma fazoda (t) vector , a1(t),a2(t) koordinatalarga ega bo’lsin a1(t),a2(t) funksiyalar differensiallanuvchi bo’ladi. Har bir t uchun Q(u(t),,v(t)) nuqtadan (t)
yo’nalish bo’yicha chiquvchi geodezik chiziqni bilan, uning urinma vektorini bilan belgilaymiz.
Har bir t uchun geodezik chiziqda tabiiy parameter kiritsak, uning ichki koordinatalarida tenglamaalari
U=ut(s)
V=vt(s)
Ko’rinishda bo’ladi.Bu yerda ut(s), vt(s) funksiyalar (1) diffrensial tenglamalar sistemasining
Ut(0) =u(t), vt (0)=v(t), ut(0)=a1(t), vt(0)=a2(t)
Boshlang’ich shartlarini qanoatlantiruvchi yechimdir.endi shunday
sonlarni topamizki, bo’lganda , ut(s), vt(s) funksiyalar (- ) oraliqda aniqlangandir. Bu yerda t0 parametrning p nuqtasiga mos keluvchi qiymatidir. BUning uchun (1) differensial tenglamalar sistemasini ha rbir fiksirlangan t uchun
ko’rinishda yozamiz. Bu yerda (ut,vt,q1,q2) tertiblangana to’rtlikni Rn fazoda silliq chiziqni aniqlaydi.
Differensial tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligi va yechimning boshlang’ich shartlari, ya’ni ut(0), ), vt (0), q1(t,0)=q1(t), q2(t,0)=q2(t) funksiyalar t parameter (a,b) oraliqda o’zgarganda R4 fazoda silliq chiziqni aniqlaydi .
Differensial tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligi va yechimning boshlang’ich shartlarga uzluksiz bog’liqligi haqidagi teoremaga {4} asoan
{ 1(t0)=q1(t0,0), q2(t0)=q2(t0,0)}
Nuqtaning shunday ), V atrofi va shunday soni mavjudki, V atrofga tegishli har bir nuqtadan chiquvchi yechim – oraliqdagi aniqlangan. Biz shunday >0 sonini tanlashimiz mumkinki, |t-t0|< bo’lganida {u(t),v(t),q1(t),q2(t) }, nuqta V atrofga tegishli bo’lsin. Demak, , |t-t0|< bo’lganda ut(s), vt(s) funksiyalar (- ) atrofda aniqlangan. Endi sirtning p(u0,v0) nuqta atrofdagi parametrlash usulini qaraylik.
Differensial tenglamalar sistemasi yechimi boshlang’ich qiymatlarning differensiallanuvchi funksiya bo’lganligi uchun r(t,s) differensiallanuvchi funksiyadir. Bundan tashqari [ ] bolganligi uchun tenglama regulyar sirtning parametrlash usulini aniqlaydi.Endi uning yarim geodezik parametrlash usuli ekanligini ko’rsataylik.
Har bir t uchun geodezik chiziq bo’laganligi uchun tengliklar o’rinli . Lekin
Tengliklardan va F(t,0)=0 tenglikdan F(t,s)=0 ekanligi kelib chiqadi.
Endi geodezik chiziqlarning yana bir muhim xossasini isbotlaylik.Regulyar O sirt o’zinign birorta nuqtasi atrofidagi (f,G) parametrlash usuli tenglama yordamida berilgan bo’lsin. Agar F sirtda geodezik chiziq berilgan bo’lsa , u o’ziga tegishli yetarli yaqin ixtiyoriy ikkita nuqtani tutashtiruvchi eng qisqa chiziq ekanligini isbotlaymiz.
Umumiylikni chegaralamasdan geodezik chiziq p0(u0,v0) nuqtadan o’ssin deb faraz qilaylik p0(u0,v0) nuqtadan chiziqqa perpendikulyar birorta chiziq chiqaramiz va yordamida p0 nuqta atrofida yarim geodezik koordinatalar sistemasini kiritamiz. Demak, v=const chiziqlar geodezik chiziqlar bo’lib , chiziqqa perpendikulyar bo’ladi.
Bu koordinatalar sistemasida chiziq v=v0 tenglama yordamida aniqlanadi.Faraz qilaylik chziqda yotuvchi p va q nuqtalar p0 nuqtaning geodezik kooordinatalar sistemasi kiritilgan atrofida yotsin. Yarim geodezik koordinatalar sistemasi kiritilgan p0 nuqtaning atrofida V(p0) bilan, belgilab, ni shunday tanlaymizki, radius ga teng V(p0) shar V(p0) atrofning qismi bo’lsin. Shunda p va q nuqtalar (p0) sharga tegishli bo’lsa, chiziqni yoy uzunligidan kichik uzunlikka ega bo’lgan
Chiziq albatta V(p) da yotadi. Haqiqatdan chiziq V(p) da yotmasa , uning doira chegarasini birinchi va oxirgi marta kesishish nuqtalarini r va s bilan belilaymiz . Shunda
Munosabatlardan,
Tengsizlik kelib chiqadi. Lekin ikkkinchi tomondan
Qarama- qarshilik mavjud.Demak chiziq V(p) da yotadi. Uning uzunligi hisoblasak,
tenglikni hosil qilamiz. Demak,bu qarama –qarshilikdan chziqning yoyi eng qisqa yoy ekanligi kelib chiqadi.
Misolllar :
Har qanday sirtda chiziqli parametrlash usuli bilan berilgan to’g’ri chiziq geodezik t o’g’ri chiziqdir. Bu holda bo’lib , bu yerda o’zgarmas vektorlardir. Shuning uchun tenglik o’rinli bo’ladi.
Regulyar F sirt sifatida oshkormas ko’rinishda berilgan doiraviy silindrni olaylik.Koordinatalar sistemasi qulay tanlanganda tenglama x2+y2=R2 ko’rinishda bo’ladi.Bu silindrda
tenglama bilan berilgan chiziq geodezik chiziq bo’ladi.Bu yerda
Bo’lib, F(x,y,z)={2x,2y,0} vektorga kollineardir.
F(x,y,z,)=x2+y-R2 funksiyaning gradienti F(x,y,z)=0 sirtga ortogonal bo’lganligi uchun vektor ham urinma tekislikka perpendikulyar bo’ladi.Agar bo’lsa bu chiziq silindrning yasovchi bo’ladi,a=0 bo’lsa aylana hosil bo’ladi. Umumiy holda esa chizig’iga aylanadi.
3 .Ikki o’lchamli S2 sfera x2+y2+z2=R2 tenglama bilan berilgan bo’lsa , ikkita o’zaro ortogonal , birlik vektorlar uchun (t)=-Rcost +Rsint tenglama geodezik chiziqni aniqlaydi. Haqiqatdan | bo’lib,
bo’lib, radius vector , demak vektor ham sfera urinma tekisligiga peroendikulyar bo’ladi.Bu chiziqni hosil qilish uchun , vektorlarga parallel va koordinata boshidan o’tuvchi tekislik bilan sferani kesamiz.Demak, bu chiziq sferadagi katta aylanalardan biridir . Har bir nuqtada ixtiyoriy yo’nalish bo’yicha bitta katta aylana o’tganligi uchun sferada har qanday geodezik chiziq katta bitta aylana o’tganligi uchun sgerada har qanday geodezik c hiziq katta aylana yoki katta aylananing yoyidan iborat dir.
Evklid fazolarida to’g’ri chiziqlar ( yoki ularning qismi) va faqat to’g’ri chziqlar ( ularning qismi) geodezik chiziqlar bo’ladi.
II.BOB.
Do'stlaringiz bilan baham: |
