O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi qo‘qon davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti matematika o’qitish metodikasi kafedrasi

Teorema: (yagonalik ). Mavjudlik haqidagi teorema shartlarini qanoatlantiruvchi regulyar F₁,F₂ sirtlar uchun yagona ,C:R^{3 3}
Harakat mavjud bo’lib , C(F₁)=F₂ tenglik o’rinli bo’ladi.
ISBOT:Faraz qilaylik, F₁F₂ regulyar sirtlarning (f₁,V₀) va (f_2,V₀) regulyar parametrlash usullari mos ravishda tenglamalar bilan aniqlab ,(u,v) V₀ nuqtada teng bo’sin . Bu sirtlar uchun radiusi vektori (u,v) ga teng bo’lsin nuqtada radiusi vektori ga o’tkazuvchi F:F₁ F₂ akslantirishda qaraylik. Demak, F akslantirish F₁ sirtdagi (u,v) koordinatali nuqtaning F₂ sirtdagi (u,v) kooordinata nuqtaga akslantiradi va demak F diffferensiallanuvchi akslantirishdir.Bu akslantirishning differensiallanuvchi ekanligini ko’rsatish uchun 5- teoremaga ko’ra F f₁:V₀ R³ akslantirishningdifferensialllanuvchi ekanligini ko’rsatish uchun kerak.Agar x²(u,v), y²(u,v) z²(u,v) differensiallanuvchi funksiyalar r²(u,v) vector funksiyalarning koordinatalari bo’lsa

Tenglik o’rinli bo’ladi va shuning uchun F*f₁(u,v) differensiallanuvchi akslanntirishdir. Harbir (u,v) V₀ nuqtada I₁(u,v)=I₂(u,v) bo’lganligi uchun 9- teoremaga ko’ra F akslantirish izometrik akslantirishdir .Demak, F akslantirishda skalayr ko’paytma, xususan urinma vektorlar orasidagi burchaklar saqlanadi.Demak , (u₁v₂) nuqtada r_u va r_v vektorlar hamda

Bu akslantirish izometrik akslantirish bo’ladi , chunki parallel ko’chirish va burish izometrik akslantirishdir.Endi C:R³ R³ akslantirishda C(F₁) F₂ ekanligini ko’rsataylik .Buning uchun (u,v)=C^*( ) belgilash kiritaylik . Bu yerda C akslantirish, akslantirishning differensialidir.Akslantirish C izometriya bo’lganligi uchun C otoganal matritsadir.Demak,

Tengliklardan tashqari C(F₁) sirtning birinchi kvadratik formasi F₁ sirtning va demak F₂ sirtning birinchi kvadratik formasi bilan ustma –ust tushadi.Akslantirish C orientatsiyani saqlanganligi uchun C(F₁) va F₂ sirtlarning ikkinchi kvadratik formalari bilan ustma ust tushishini ko’rsatamiz.Urinma a,b𝟄T_pF₁ vektorlar berilgan va ), bo’lsin. (a,b) tenglikni ko’rsatishimiz mumkin.
Buning uchun,
va tenglikni ko’rsatamiz.Bu yerda n vektor –С(F₁) sirtlarning normal vektori. tenglikni differensiallaymiz va tengliklarni hosil qilamiz .Bundan tashqari tenglikni ham o’rinli, chunki vector ko’paytma orientatsiya saqlovchi izometriya saqlanadi. Yuqoridagi tenglikni differensiallab, tenglikni hosil qilamiz. Demak,
L=(
Bo’ladi.Xuddi shunday ikkinchi kvadratik formaning boshqa koeffitsientlari ham tenglik.Natijada F₂ sirt va C ( F₁) sirtlarning birinchi va ikkkinchi kvadratik formalari tengligini hosil qildik.Demak,

Vector funksiyalar derivatsion formulalarga ko’ra bitta xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasining yechimi bo’ladi. Bundan
tenglikkka asosan
kelib chiqadi. Demak C(F₁)=F₂ tenglik isbotlandi.