O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi qo‘qon davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti matematika o’qitish metodikasi kafedrasi

Teorema:Regulyar sirtning har bir nuqtasidan har bir yo’nalish bo’yicha yagona geodezik chiziq chiqadi.
Isbot: Berilgan p(u₀,v₀) nuqta va urinma vector uchun (1) sistemaning
U₁(0)=u⁰ , u₂(0)=v₀, u₁’(0)=a₁ u₂’(0)=a₂ boshlang’ich shartlarini qanoatlantiruvchi yechimi yo’nalish bo’yicha yagona geodezik chiziqni aniqlaydi.
Geodezik chiziqlarni xarakterlovchi kattalik, geodezik chiziq egriligini tushunchasini kiritamiz.Regulyar O sirtning p nuqtasidan o’tuvchi p nuqtasidan egri chiziq berilgan bo’lsin. Chiziqning p nuqta atrofidagi qismining p nuqtasidan o’tuvchi urinma tekislikka proeksiyasini bilan belgilaymiz . Tabiiyki , ham silliq egri chiziq bo’ladi.Proeksiyasi natijasida hosil bo’lgan egri chiziqning p nuqtadagi egriligi chiziqning geodezik egriligi deb ataymiz.
Bizning maqsadimiz, geodezik chiziq bo’lishi uchun uning geodezik egriligi nolga teng bo’lishi zarur va yetarli ekanligini ko’rsatishdir.Buning uchun va chiziqlar egriliklari orasidagi bog’lanishlarni topamiz.. Avvalo, chizq nuqtalardan (p nuqtdan o’tuvchi) urinma tekislikka perpendikulyar to’g’ri chiziqlar o’tkazib , silindrik sirt hosil qilib, uni F bilan belgilaymiz. Bu silindrik sirtni teislik bilan kesganimizda hosil bo’ladi( -F sirtning p nuqtadagi urinma tekisligi).
Demak, F silindr uchun normal kesim va uning bosh normali F ning normaliga kollineardir. va chiziqlar umumiy urinmalarga ega .shuning uchun , silindrik sirtga nisbatan Men’e teoremasidan foydalanib k₀=|kcos | tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda - va chiziqlar bosh normallar orasidagi burchakdir, k₀,k- mos ravishda va chiziqlarning p nuqtadagi egriligidir.Endi chiziqni yoy uzunligi yordamida parametrlab , uning tenglamasini ko’rinishda yozamiz va p nuqtaga mos keluvchi parametrning qiymatini s₀ bilan belgilaymiz. Shunda (s)- urinma vektor, bosh normal vektori bo’lsa, - vektor uchun ham p nuqtadagi urinma vektor bo’lib , [ ] vektor uchun ham p nuqtadagi urinma vektor bo’lib normali bo’ylab yo’nalgan bo’ladi.
Shuning uchun
formulani hosil qilamiz. Bu tenglikdan ko’rinib turibdiki, k₀=0 bo’lishi zarur va yetarlidir. Shunday qilib, biz quyidagi teoremani isbotladik.
Teorema: Sirtda yotuvchi chiziq geodezik chiziq bo’lishi uchun uning geodezik egriligini har bir nuqtada teng bo’lishi zarur va yetarlidir.
Regulyar F sirt parametrlanganda koordinata chiziqlarining bir oilasi geodezik chiziqlardan iborat bo’lib har bir nuqtada shu nuqtadan o’tuvchi koordinata chiziqlari o’zaro ortogonal bo’lsa, bunday paramertlash usuli yarim geodezik parametrlash usuli deb ataladi.