O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi qo‘qon davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti matematika o’qitish metodikasi kafedrasi

Kurs ishining tuzilishi:
Kurs ishi kirish, 2 ta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.

1.BOB. SIRTLAR NAZARIYASINING ASOSIY TEOREMALARI

Bu paragrafda berilgan ikkita kvadratik formalar uchun sirtning mavjudligi va fazodagi harakatga nisbatan uning yagonaligi haqidagi teoremalarni ishlaymiz.
Teorema: Tekislikdagi G sohada aniqlangan gij, qij differensiallanuvchi funksiyalar berilgan bo’lib , gij=g^ji qij=qji munosabatlar bajarilgan va (g) matrissaning deteminanti noldan katta bo’lsin . Bundan tashqari bu funksiyalar uchun Gauss va Peterson - Kodatstsi tenglamalari bajarilgan bo’lsin . Shundan har bir (u0, v0) G uchun bu nuqtaning V 𝟄G atrofi va
tenglama bilan berilgan regulyar F sirt mavjud bo’lib uning ikkinchi kvadratik formalarining matrissalari mos ravishda matrissalar bilan ustma ust tushadi.
Isbot: Berilgan (gij) matrissaga teskari matrissa elementlarini belgilaymiz va

Bo’yicha funksiyalarni topamiz. Endi quyidagi X1X2...N vector funksiyalarga nisbatan quyidagi xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasini qaraylik.

Bu yerda u1=u , u2 =v belgilashlardan foydalandi . shuni hisobga olib (1) sistemani har bir indeks uchun yozsak u,


Ko’rinishga keladi . Endi bu hususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasining yechimi mavjudlik shartini yozamiz:

Bu mavjudlik shartlari Gauss va Peterson- Kadatstsi tenglamalariga ekvivalent ekanligini oldingi paragrafdaa ko’rsatdik. Demak bizning (1) sistemamiz uchun G sohaning har bir nuqtasida yechimning mavjudlik shartlari bajarilgan. Demak birorta (u0,v0) nuqtada berilgan boshlang’ich shartlarini qanoatalantiruvchi yagona yechimga ega ya’ni V sohada aniqlangan vektor funksiyalar
X₁(u,v),X₂(u,v ),N(u,n)
Mavjud va (1) sistemani qanoatlantiradi. Boshlang’ich shartlarni quyidagicha tanlaymiz:

Vektorlar o’ng sistemani tashlik qialdi. Bu boshlangi;ch shartlarini qanoatlantiruvchi vektorlar mavjudligi matritsaning musbat aniqlanganligidan kelib chiqadi.Endi r= r(u,v) vektor funksiya uchun

Sistemani qaraymiz . Bu sistema uchun yechimning mavjudlik sharti tenglikdan iboratdir .Lekin g_ij=g_ji bo’lganligi uchun G_ij^k=G^k_ji undan tashqari q_ij=q_ji munosabat ham bor . Demak,

munosabatdan va tenglik o’rinli bo’ladi.
Shunday qilib, agar (u₀,v₀) 𝟄V₀ nuqta uchun (4) sistema =(u₀,v_o)=
boshlang’ich shart bilan qarasak (u₀,v₀) nuqtaning birorta V₀𝟄V atrofida aniqlangan (u,v) yechim mavjud. Endi (u,v ) , (u,v ) V₂
tenglama bilan aniqlangan F sirtning birinchi kvadratik va ikkinchi kvadratik formalari koeffitsientlarini hisoblaymiz . Buning uchun
(X_j,X_i) , (Xj,N),N²
Funksiyalarni differensiallar yordamida
Xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasi uchun
(X_i,X_j)=q_ij,(X_j,N)=0 , (N,N)=N²=1
funksiyalar yechim bo’ladi.oxirgi tenglama uchun bu faktni bevosita
N²=1, (X_j,N)=0
Ifodalarni tenglamalarga qo’yib tekshirish mumkin . ikkkinchi tenglama uchun tekshiramiz

Birinchi tenglamani tekshirish uchun


tenglikni g_ijga ko’paytirib , indeks l bo’yicha yig’amiz.
Natijada

tenglikni hosil qilamiz.Xuddi shunday

tenglik ham o’rinli. Bundan

Munosabat kelib chiqadi . Bu munosabat o’z navbatida
(X_i,X_j)=g_ij, (X_i,N)=0
Funksiyalar 1- tenglama uchun yechim ekanligini ko’rsatadi. Bu yechimlar uchun boshlang’ich shartlarga ko’ra
(X_i,X_j)(u_o,v_o)= g_ij(u_0,v₀), (X_i(u_o,v_o)N(u₀,v₀))=0
|N²(u₀,v₀))=1
Munosabatlar o’rinli va
X₁(u₀,v₀),X₂(u₀,v₀),N(u_o,v_o)
Vektorlar o’ng sistemasi tashlik etadi. Bundan esa , (5) sistemaning yagona ekanligiga ko’ra

Tengliklar va aralash ko’paytma uchun X₁X₂N>0 munosabat V₀sohaning hamma nuqtasida bajarilishi kelib chiqadi . Demak F sirt uchun

Munosabat o’rinlidir . Bundan esa F sirtning birinchi kvadratik formasi matritsasi nuqtasida bajarilishi kelib chiqadi . Demak, F sirt uchun ( g_ij) matritsaSI bilan ustma ust tushishi kelib chiqadi.

Ikkinchi tomondan Vektorlar o’ng sistemasi tashlik etadi. Bundan esa , (5) sistemaning yagona ekanligiga ko’ra
(
Tengliklar va aralash ko’paytma uchun X₁X₂N>0 munosabat V₀sohaning hamma nuqtasida bajarilishi kelib chiqadi . Demak F sirt uchun

Munosabat o’rinlidir . Bundan esa F sirtning birinchi kvadratik formasi matritsasi nuqtasida bajarilishi kelib chiqadi . Demak, F sirt uchun ( g_ij) matritsa bilan ustma ust tushishi kelib chiqadi.

Ikki tomondan

Bo'lganligi uchun N (u,v) vektor F sirtning birinchi normal vektori bo’ladi.Demak,

Munosabat o’rinli bo’lib F sirtning ikkinchi kvadratik formasi matritsasi q_ij bilan ustma ust tushadi.